Was ist die stationäre Verteilung?

Die Verteilung π mit πP = π: nach einem Schritt bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Ist die Kette ergodisch, konvergieren wiederholte Übergänge gegen π aus jedem Anfangszustand.

Warum ist die spektrale Lücke wichtig?

Der zweitgrößte Eigenwert dem Betrage nach bestimmt, wie schnell transiente Moden abklingen. Eine große Lücke bedeutet meist schnelle Mischung und schon nach wenigen Schritten einen kleinen Abstand in Totalvariation.

Was ist detailliertes Gleichgewicht?

Die Bedingung π_i P_{ij} = π_j P_{ji}: der Wahrscheinlichkeitsfluss zwischen jedem Zustandspaar hebt sich gegenseitig auf. Sie garantiert, dass π stationär ist, und wird oft beim Aufbau von MCMC genutzt.

Mischung einer Markov-Kette

Kette mit drei Zuständen: Übergangsmatrix, stationäre Verteilung, Abstand in Totalvariation, detailliertes Gleichgewicht und spektrale Lücke.

Selbstübergänge verlangsamen die Mischung; ein Richtungsungleichgewicht kann das detaillierte Gleichgewicht brechen und die stationäre Verteilung trotzdem erhalten.

Diagramme

Zum Modell

Eine Markov-Kette aktualisiert die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach der Regel p_{t+1} = p_t P. Für eine ergodische Kette konvergieren wiederholte Übergänge gegen die stationäre Verteilung π, πP = π, aus jedem Anfangszustand. An der Kette mit drei Zuständen sieht man die aktuellen Wahrscheinlichkeiten, den Abstand in Totalvariation zu π, das Kriterium des detaillierten Gleichgewichts und eine Schätzung der spektralen Lücke, die die Mischungsgeschwindigkeit setzt. Eine große Lücke bedeutet meist schnelles Abklingen der transienten Moden.

Für wen: Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse: Markov-Ketten, MCMC.

Wichtige Begriffe

markov-kette
übergangsmatrix
stationäre verteilung
mischungszeit
detailliertes gleichgewicht
spektrale lücke

So funktioniert es

Die Markov-Kette aktualisiert die Verteilung nach p_{t+1}=p_tP. Die stationäre Verteilung π erfüllt πP=π; ist die Kette ergodisch, nähert sich die aktuelle Verteilung schrittweise π. Der Abstand in Totalvariation zeigt den Restunterschied, das detaillierte Gleichgewicht prüft den reversiblen Fluss π_iP_ij≈π_jP_ji, und die spektrale Lücke steuert, wie schnell transiente Moden abklingen.

Wichtige Gleichungen

p_{t+1}=p_t P, πP=π

Die Mischungsgeschwindigkeit setzen die Eigenwerte; eine größere spektrale Lücke bedeutet schnellere Konvergenz

Häufige Fragen

Was ist die stationäre Verteilung?: Die Verteilung π mit πP = π: nach einem Schritt bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Ist die Kette ergodisch, konvergieren wiederholte Übergänge gegen π aus jedem Anfangszustand.
Warum ist die spektrale Lücke wichtig?: Der zweitgrößte Eigenwert dem Betrage nach bestimmt, wie schnell transiente Moden abklingen. Eine große Lücke bedeutet meist schnelle Mischung und schon nach wenigen Schritten einen kleinen Abstand in Totalvariation.
Was ist detailliertes Gleichgewicht?: Die Bedingung π_i P_{ij} = π_j P_{ji}: der Wahrscheinlichkeitsfluss zwischen jedem Zustandspaar hebt sich gegenseitig auf. Sie garantiert, dass π stationär ist, und wird oft beim Aufbau von MCMC genutzt.

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