Warum hängt ω_c mit min(π/L, π/M) zusammen?

Nach der Erhöhung der Rate um den Faktor L verschieben sich die Spektralkopien mit der Schrittweite 2π/L; der Tiefpass muss die Spektralbilder etwa bis π/L abschneiden. Vor der Dezimierung ↓M fällt alles oberhalb von etwa π/M in das Beobachtungsband. Es gilt der schärfere der beiden Schwellenwerte.

Ist das dieselbe Rechnung wie eine echte Polyphasenrealisierung?

Im Kern ja (bis auf Ränder und Rundung): dieselben Abtastwerte y[m], aber die Polyphasenform speichert kein langes gelichtetes Signal und rechnet L kurze Faltungen auf der Eingangsrate.

Was zeigt der Betrieb ohne FIR-Filter?

Ein Impuls L·δ[n] statt des Filters: die Spektralbilder bleiben, die Dezimierung faltet sie zusammen — im Spektrum erscheinen parasitäre Anteile und die Form verzerrt sich.

Warum ist die Ausgangslänge nur ungefähr N·L/M?

Es werden jene Ausgangszeitpunkte der hohen Rate genommen, die nach Ausgleich der Laufzeit vom ersten bis zum letzten Eingangswert fallen. Bei rationalem L/M ist das die ganze Zahl floor((N − 1)L/M) + 1, nicht immer genau N·L/M.

Polyphasige Abtastratenwandlung L/M

Einfügen von L−1 Nullen, FIR-Tiefpass auf der hohen Rate mit ω_c ≈ min(π/L, π/M), dann Dezimierung ↓M; Spektren vorher und nachher sowie das Schema der Noble-Identitäten für L polyphasige Zweige.

Diagramme

Zum Modell

Die polyphasige Abtastratenwandlung im rationalen Verhältnis L/M hat die kanonische Form: Einfügen von L−1 Nullen, FIR-Tiefpass auf der Zwischenrate L·F_s mit einer Bandbreite der Ordnung min(π/L, π/M) Radiant je Abtastwert, anschließend Dezimierung ↓M. Der Filter unterdrückt zugleich die Spektralbilder nach dem Nulleneinfügen und lässt vor der Dezimierung keine Energie oberhalb von π/M durch. Die Polyphasenzerlegung von H(z) in L Teilfilter E_r(z^L) liefert dieselbe Arithmetik wie die lange Faltung mit der gelichteten Folge, rechnet aber auf der Eingangsrate (Noble-Identitäten). Gebaut wird die direkte Kette „Nullen → Faltung → Dezimierung“ mit Ausgleich der FIR-Gruppenlaufzeit; Spektren vorher und nachher sowie ein Betrieb ohne Filter, in dem spektrale Überlappung und Spektralbilder sichtbar werden. Mehrstufige Dezimierung und ein beliebig gebrochenes L/M gehören nicht dazu.

Für wen: Vorlesung Digitale Signalverarbeitung und Systeme mit mehreren Abtastraten: Interpolation, Dezimierung, Polyphasenzerlegung.

Wichtige Begriffe

polyphasenzerlegung
noble-identitäten
interpolation
dezimierung
unterdrückung der spektralen überlappung
unterdrückung der spektralbilder
rationale abtastratenwandlung
hamming-fenster

So funktioniert es

L/M: das Einfügen von L−1 Nullen hebt die Abtastrate um den Faktor L; der FIR-Tiefpass auf der hohen Rate unterdrückt Spektralbilder und bereitet das Signal auf ↓M vor, damit keine spektrale Überlappung entsteht. Dieselbe Rechnung lässt sich als L kurze Polyphasenfilter auf der Eingangsrate führen (Noble-Identitäten).

Wichtige Gleichungen

u[k] = Σ x[i] δ[k − iL] (zero stuffing), y[m] = (u * h)[m₀ + mM]

H(z) = Σ_{r=0}^{L−1} z^{−r} E_r(z^L) — L polyphase components E_r

Häufige Fragen

Warum hängt ω_c mit min(π/L, π/M) zusammen?: Nach der Erhöhung der Rate um den Faktor L verschieben sich die Spektralkopien mit der Schrittweite 2π/L; der Tiefpass muss die Spektralbilder etwa bis π/L abschneiden. Vor der Dezimierung ↓M fällt alles oberhalb von etwa π/M in das Beobachtungsband. Es gilt der schärfere der beiden Schwellenwerte.
Ist das dieselbe Rechnung wie eine echte Polyphasenrealisierung?: Im Kern ja (bis auf Ränder und Rundung): dieselben Abtastwerte y[m], aber die Polyphasenform speichert kein langes gelichtetes Signal und rechnet L kurze Faltungen auf der Eingangsrate.
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