Warum finite Differenz statt symbolischer Ableitung?

Symbolisches Differenzieren ist bequem, wenn es vorhanden ist; hier zählt die Freiheit: jeder Ausdruck, den man zeichnen kann, lässt sich sogleich mit dem Newton-Verfahren durchlaufen. Der Preis sind der Fehler in f′ und mögliche Ausfälle an einer fast waagerechten Tangente.

Warum „bricht“ das Verfahren bei manchen Starts?

Globale Konvergenz gibt es nicht: bei kleiner f′ und merklichem f kann der nächste Punkt weit wegfliegen. Auf flachen Stücken greift der Abbruch „nahezu verschwindende Ableitung“. Bei oszillierendem f sind Zyklen ohne Dämpfung möglich.

Worin unterscheidet sich das vom Newton-Fraktal auf der Seite?

Dort wird die komplexe Ebene eingefärbt: welche komplexe Wurzel z₀ unter z − p(z)/p′(z) anzieht. Hier ist die reelle Geometrie: Graph von f, Tangenten und Bewegung auf der x-Achse.

Sieht man die quadratische Konvergenz?

Nur qualitativ: nahe einer einfachen Nullstelle und einem guten x₀ fällt die Höhe |f(xₙ)| sehr rasch. Genaue Ordnungen werden nicht hergeleitet; in der Tabelle stehen in den letzten Schritten die Spalten f und Δx.

Newton-Verfahren (1D)

Graph von f(x), Klick setzt x₀, Iterationen x − f/f′ (Ableitung numerisch); Verschieben und Vorlagen. Einzugsgebiete auf ℂ — gesonderte Darstellung „Newton-Fraktal“.

f(x)

Ausdruck (mathjs)

Verwenden Sie x, ^, sin, cos, exp, log, sqrt, abs, pi, e. Gesucht werden die Nullstellen von f(x)=0.

Iterationen

max. Iterationen18

x₀ (Schieberegler oder Klick auf den Graphen)1.2

Ansicht

Maßstab (waagerecht)1 ×

Ziehen auf dem Graphen verschiebt das Fenster längs x.

Tastenkürzel

Klick auf den Graphen (ohne merkliches Ziehen) — Startwert x₀ wählen
Ziehen auf dem Graphen — Ansicht längs x verschieben
Leertaste / Enter — x-Fenster zurücksetzen; R — leicht zufälliges x₀

Gemessene Größen

StatusConverged

ausgeführte Iterationen4

letzter x1.4142136

f(letzter x)4.4409e-16

#xfΔx

11.2000-0.5600-0.2333

21.43330.054440.01899

31.41430.00036070.0001275

41.41421.626e-85.749e-9

Zum Modell

Das Newton-Verfahren sucht eine Nullstelle von f(x) = 0: in der aktuellen Stelle xₙ linearisiert man die Funktion und nimmt den Schnitt der Tangente mit der x-Achse als nächste Näherung xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Geometrisch steigt man von (xₙ, 0) zum Graphen und folgt der Tangente zurück. Der Graph y = f(x) wird aus dem Ausdruck gezeichnet; x₀ setzt man per Klick (leichtes Ziehen verschiebt das Fenster). Die Ableitung kommt aus der symmetrischen finiten Differenz, damit sich verschiedene f ohne händisches Differenzieren erproben lassen. Es gibt Vorlagen, x-Maßstab, Schieberegler für x₀, ein Iterationslimit und ein Schrittprotokoll. Abbruch: kleines |f|, kleiner Schritt |Δx|, nahezu verschwindende f′, nichtnumerische Werte und Divergenz. Auf der komplexen Ebene zeigt die gesonderte Darstellung „Newton-Fraktal“ die Einzugsgebiete der Wurzeln.

Für wen: Analysis und Grundlagen der numerischen Mathematik: Linearisierung, Empfindlichkeit gegen die Startnäherung; Vergleich mit komplexen Einzugsgebieten.

Wichtige Begriffe

newton-verfahren
tangente
linearisierung
nullstellensuche
ableitung durch finite differenzen
quadratische konvergenz
einzugsgebiet

So funktioniert es

Newton-Verfahren: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) — Schnitt der Tangente an den Graphen y = f(x) mit der x-Achse. Hier kommt f′ aus der finiten Differenz; ein Klick setzt x₀. Auf der komplexen Ebene zeigt die gesonderte Darstellung „Newton-Fraktal“ die Einzugsgebiete der Wurzeln.

Häufige Fragen

Warum finite Differenz statt symbolischer Ableitung?: Symbolisches Differenzieren ist bequem, wenn es vorhanden ist; hier zählt die Freiheit: jeder Ausdruck, den man zeichnen kann, lässt sich sogleich mit dem Newton-Verfahren durchlaufen. Der Preis sind der Fehler in f′ und mögliche Ausfälle an einer fast waagerechten Tangente.
Warum „bricht“ das Verfahren bei manchen Starts?: Globale Konvergenz gibt es nicht: bei kleiner f′ und merklichem f kann der nächste Punkt weit wegfliegen. Auf flachen Stücken greift der Abbruch „nahezu verschwindende Ableitung“. Bei oszillierendem f sind Zyklen ohne Dämpfung möglich.
Worin unterscheidet sich das vom Newton-Fraktal auf der Seite?: Dort wird die komplexe Ebene eingefärbt: welche komplexe Wurzel z₀ unter z − p(z)/p′(z) anzieht. Hier ist die reelle Geometrie: Graph von f, Tangenten und Bewegung auf der x-Achse.
Sieht man die quadratische Konvergenz?: Nur qualitativ: nahe einer einfachen Nullstelle und einem guten x₀ fällt die Höhe |f(xₙ)| sehr rasch. Genaue Ordnungen werden nicht hergeleitet; in der Tabelle stehen in den letzten Schritten die Spalten f und Δx.

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