Warum nehmen Jacobi und Gauß–Seidel zuerst die hohen Frequenzen?

Die lokale Relaxation aktualisiert den Knoten aus den Nachbarn. Ein oszillierender Fehler erzeugt große lokale Residuen und wird rasch gedämpft. Ein glatter niederfrequenter Fehler ist örtlich fast konsistent, daher ändert das feine Gitter ihn nur langsam.

Was leistet das grobe Gitter?

Der glatte Fehler auf dem feinen Gitter wirkt relativ zum groben weniger glatt. Die Residuumsgleichung dort liefert eine billige globale Korrektur; die Interpolation trägt sie auf das feine Gitter zurück.

Ist das ein industrielles Mehrgitterverfahren?

Nein. Geometrischer V-Zyklus für den eindimensionalen Poisson-Operator. Industrielle Löser ergänzen sorgfältige Transferoperatoren, Randbedingungen, Abbruchkriterien, die Wahl des Glätters und den Schritt auf verwickelte zwei- und dreidimensionale Netze.

Mehrgitter-Relaxation

Fehlerdynamik der eindimensionalen Poisson-Gleichung: Jacobi und Gauß–Seidel glätten hohe Frequenzen, der V-Zyklus nimmt niedrige Moden rasch durch Restriktion des Residuums und Grobgitterkorrektur.

Zum Modell

Die Mehrgitter-Relaxation wird am eindimensionalen Poisson-Problem −u″ = f, u(0) = u(1) = 0 vorgeführt; die exakte Lösung aus einer nieder- und einer hochfrequenten Sinusmode ist bekannt. Vom Nullstart aus dämpfen Jacobi- und Gauß–Seidel-Relaxation den hochfrequenten Fehler rasch — sie sind Glätter. Der verbleibende glatte niederfrequente Fehler fällt auf dem feinen Gitter nur langsam. Der V-Zyklus berechnet das Residuum r = f − Au, überträgt es durch Restriktion auf grobe Gitter, wo der glatte Fehler oszillatorischer und günstiger wird, und setzt die Korrektur durch Prolongation zurück. Oben steht der aktuelle Fehler u − u* für Jacobi, Gauß–Seidel und Mehrgitter; unten der logarithmische Verlauf des L2-Fehlers.

Für wen: Numerische partielle Differentialgleichungen: Relaxation, Glätter, Residuumskorrektur, Restriktion und Prolongation.

Wichtige Begriffe

mehrgitterverfahren
jacobi-verfahren
gauß-seidel-verfahren
v-zyklus
grobgitterkorrektur
residuum
restriktion
prolongation

So funktioniert es

Für das 1D-Problem −u″=f werden Jacobi, Gauß–Seidel und der V-Zyklus des Mehrgitterverfahrens verglichen. Die Relaxation glättet den hochfrequenten Fehler rasch, den glatten niederfrequenten aber nur langsam; das Mehrgitterverfahren überträgt das Residuum auf das grobe Gitter, löst die Korrektur und setzt sie durch Prolongation zurück.

Wichtige Gleichungen

Solve −u″=f, u(0)=u(1)=0. Relaxation damps oscillatory error; multigrid computes residual r=f−Au, restricts it to coarse grids, solves Ae=r, and prolongs the correction u←u+e.

Häufige Fragen

Warum nehmen Jacobi und Gauß–Seidel zuerst die hohen Frequenzen?: Die lokale Relaxation aktualisiert den Knoten aus den Nachbarn. Ein oszillierender Fehler erzeugt große lokale Residuen und wird rasch gedämpft. Ein glatter niederfrequenter Fehler ist örtlich fast konsistent, daher ändert das feine Gitter ihn nur langsam.
Was leistet das grobe Gitter?: Der glatte Fehler auf dem feinen Gitter wirkt relativ zum groben weniger glatt. Die Residuumsgleichung dort liefert eine billige globale Korrektur; die Interpolation trägt sie auf das feine Gitter zurück.
Ist das ein industrielles Mehrgitterverfahren?: Nein. Geometrischer V-Zyklus für den eindimensionalen Poisson-Operator. Industrielle Löser ergänzen sorgfältige Transferoperatoren, Randbedingungen, Abbruchkriterien, die Wahl des Glätters und den Schritt auf verwickelte zwei- und dreidimensionale Netze.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Mathematische Visualisierung“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Geometrie der Hauptkomponentenanalyse (PCA) / SVD

Simulation starten

Kovarianzellipse und Dimensionsreduktion über die Singulärwertzerlegung: Hauptkomponenten, erklärte Varianz und Rekonstruktionsfehler vom Rang 1.

NeuHochschule / Forschung

Keller-Segel-Chemotaxis

Simulation starten

n folgt dem Gradienten von c; Sekretion αn, Zerfall βc; Kollaps bei großem χ; Gitter 96².

NeuHochschule / Forschung

Advektionsschemata: Upwind / LW / MacCormack

Simulation starten

Linearer Transport u_t + c u_x = 0 auf periodischem Gitter: Diffusion des Upwind-Verfahrens, Dispersionsschwingungen von Lax-Wendroff und MacCormack, exakte Verschiebung des Impulses, L2-Fehler und Courant-Zahl ν.

NeuHochschule / Forschung

Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta

Simulation starten

Absolute Stabilität in der Ebene z = hλ für explizites Euler-Verfahren, RK2 und RK4: λ und h, Vergleich von |R(z)| und die Beschränkung des expliziten Schritts bei steifen Moden.

NeuHochschule / Forschung

Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)

Simulation starten

x→y→z, funktionelle Reaktionen nach Holling II, logistisches x; Chaos bei Variation von b₁; RK4, Phasenebenen.

NeuHochschule / Forschung

Newton-Fraktal

Simulation starten

Einzugsgebiete der Newton-Iteration für zⁿ − 1 mit Relaxationsparameter ω.

Mehrgitter-Relaxation

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Geometrie der Hauptkomponentenanalyse (PCA) / SVD

Keller-Segel-Chemotaxis

Advektionsschemata: Upwind / LW / MacCormack

Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta

Nahrungskette aus drei Arten (Hastings-Powell)

Newton-Fraktal

Mehrgitter-Relaxation

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen