Wozu die imaginäre Einheit, wenn die Spannung reell ist?

Die komplexe Schreibweise ist bequemes Rechnen. Der physikalischen Schwingung ordnet man gewöhnlich den Realteil Re(Ae^{iωt}) zu. Die imaginäre Achse im Bild ist die zweite Projektion derselben Drehung, der Sinus um 90° verschoben.

Wozu der Zeiger, wenn es den Sinusgraphen gibt?

Das Addieren zweier Sinusfunktionen derselben Frequenz ist auf Zeigern das Addieren von Vektoren in der Ebene. Die trigonometrischen Formeln sind länger; in Wechselstromkreisen addiert man so Spannungen und Ströme.

Was stellt der Schieberegler der Phase φ ein?

Den Startwinkel: θ = ωt + φ. Die Verschiebung φ dreht den Pfeil im Zeitpunkt t = 0 und verschiebt beide Projektionen in der Zeit, ohne Frequenz und Amplitude zu ändern.

Komplexer Zeiger

Punkt e^{i(ωt+φ)} auf dem Einheitskreis; Projektionen Re, Im und Phase φ.

Zum Modell

Der komplexe Zeiger e^{i(ωt+φ)} ist ein Punkt auf dem Einheitskreis, der mit der Kreisfrequenz ω umläuft. Nach der Eulerschen Formel e^{iθ} = cos θ + i sin θ ist die Projektion auf die reelle Achse cos(ωt+φ), auf die imaginäre sin(ωt+φ). Der Winkel θ = ωt+φ ist die Momentanphase. Die Amplitude ist 1: man sieht Drehung und Projektionen, ohne mehrere Zeiger verschiedener Länge zu addieren. Dieselbe harmonische Bewegung wie bei Schwingungen und in Wechselstromkreisen, wo Spannung und Strom als komplexe Amplituden geschrieben werden. Der Betrag ändert sich nicht — es gibt keine Dämpfung.

Für wen: Schwingungen und Wechselstromkreise: Eulersche Formel, Zeiger, Projektionen auf die Achsen Re und Im.

Wichtige Begriffe

zeiger
eulersche formel
komplexe exponentialfunktion
kreisfrequenz
phase
realteil
imaginärteil
einheitskreis

So funktioniert es

Der Punkt e^{i(ωt+φ)} läuft mit der Kreisfrequenz ω auf dem Einheitskreis. Nach der Eulerschen Formel ist die Projektion auf die Achse Re gleich cos(ωt+φ), auf die Achse Im gleich sin(ωt+φ). Das ist eine harmonische Schwingung in zwei Projektionen; der Betrag ist 1.

Häufige Fragen

Wozu die imaginäre Einheit, wenn die Spannung reell ist?: Die komplexe Schreibweise ist bequemes Rechnen. Der physikalischen Schwingung ordnet man gewöhnlich den Realteil Re(Ae^{iωt}) zu. Die imaginäre Achse im Bild ist die zweite Projektion derselben Drehung, der Sinus um 90° verschoben.
Wozu der Zeiger, wenn es den Sinusgraphen gibt?: Das Addieren zweier Sinusfunktionen derselben Frequenz ist auf Zeigern das Addieren von Vektoren in der Ebene. Die trigonometrischen Formeln sind länger; in Wechselstromkreisen addiert man so Spannungen und Ströme.
Was stellt der Schieberegler der Phase φ ein?: Den Startwinkel: θ = ωt + φ. Die Verschiebung φ dreht den Pfeil im Zeitpunkt t = 0 und verschiebt beide Projektionen in der Zeit, ohne Frequenz und Amplitude zu ändern.

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