Chimie
Molécules, tableau périodique, réactions, échelle de pH et titrage
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Méthode de Hückel : orbitales π
Matrice séculaire H = αI + βA pour le butadiène et le benzène ; énergies propres et cartes des combinaisons linéaires sur le squelette π.
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Diagramme OM des molécules homonucléaires X₂
Échelle σ/π avec inversion de l’ordre Li–N contre O ; ordre de liaison d’après les OM de valence ; chez O₂, les électrons célibataires su…
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Fonction de Wigner
Quasi-probabilité W(x, p) dans l’espace des phases pour un état gaussien monomode : cohérent |α⟩, comprimé déplacé D(α)S(ξ)|0⟩ et thermiq…
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État cohérent d’un oscillateur harmonique
Paquet gaussien de l’état cohérent |α⟩ dans un puits harmonique à une dimension : largeur σ = 1/√2 constante, le centre suit l’orbite cla…
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WKB et règle de Bohr–Sommerfeld
Niveaux semi-classiques pour un V(x) quelconque : harmonique, potentiel quartique, Morse, double puits et puits carré. Quantification ∫√(…
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Décohérence de Lindblad
Équation de Bloch à deux niveaux dans le référentiel tournant : champ Ω, désaccord Δ, relaxation longitudinale T₁ et décroissance transve…
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Franges de Ramsey
Séquence de champs séparés π/2 — τ — π/2 avec désaccord Δ et cohérence T₂. Probabilité P(|1⟩) = ½(1 − cosΔτ · e^{−τ/T₂}) : période des fr…
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Inégalité de Bell CHSH
Monte-Carlo pour le singulet |Ψ⁻⟩ à quatre angles (a, a′, b, b′) : l’estimée Ŝ tend vers la borne de Tsirelson 2√2 ≈ 2,828 aux angles de…
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Interférences de Hong–Ou–Mandel
Deux photons indiscernables entrent par des ports distincts d’un séparateur de faisceau 50/50 et se rassemblent sur une même sortie : pro…
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Modèle de Kronig–Penney
Chaîne périodique de potentiels δ : cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Bandes permises et bandes interdites lorsque |·| ≤ 1 ; repliement…
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Dispersion des phonons dans une chaîne unidimensionnelle
Branche monoatomique ω = 2√(K/m)|sin(ka/2)| ou branches acoustique et optique d’une chaîne diatomique ; ω(k) et vitesse de groupe v_g = d…
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Capacité thermique de Debye et d’Einstein
C_V(T) molaire : l’intégrale de Debye donne la loi en T³ aux basses T et 3R (Dulong et Petit) aux hautes T ; comparaison avec le modèle d…
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Localisation d’Anderson dans une chaîne unidimensionnelle
Chaîne en liaisons fortes avec un désordre W : fonctions propres ψ, densité |ψ|², rapport de participation inverse IPR(E) et estimation d…
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Oscillations de Bloch et échelle de Wannier–Stark
Électron dans un champ constant E : quasi-impulsion k(t), oscillations de x(t), période de Bloch T_B = 2π/(eEa) et échelle de Wannier–Sta…
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Structure de bandes du graphène
Réseau en nid d’abeille, bandes π/π* le long de Γ–M–K–Γ, cônes de Dirac aux points K et K′ si Δ = 0, bande interdite 2Δ par décalage des…
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Effet Hall quantique : états de bord
Effet Hall quantique entier : canaux de bord chiraux, niveaux de Landau remplis et plateaux quantifiés σ_xy = ν_f e²/h.
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Transport de Drude–Sommerfeld
Modèle de Drude : temps de relaxation τ, mobilité μ, conductivité σ(ω), libre parcours moyen ℓ = v_F τ, épaisseur de peau δ(ω) et effet H…
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Dégénérescence dans un puits de potentiel bidimensionnel
Particule dans un puits infini rectangulaire : ψ_{n_x,n_y} ∝ sin(n_x πx/L_x) sin(n_y πy/L_y), E ∝ (n_x/L_x)² + (n_y/L_y)². Dans le carré,…
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Niveaux de Landau
Charge dans un champ magnétique uniforme : échelle E_n = ℏω_c(n+½), fréquence cyclotron ω_c = qB/m, longueur magnétique ℓ_B = √(ℏ/qB). La…
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Distribution de Maxwell–Boltzmann et énergie d’activation
Densité f(E) selon l’énergie de translation ; fraction de molécules au-dessus du seuil d’activation ; comparaison avec le facteur d’Arrhe…
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Diagramme de phases de l’eau
Courbes qualitatives de fusion, de sublimation et de pression de vapeur saturante jusqu’au point critique ; une sonde indique la phase.
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Diagramme de phases binaire et règle des leviers
Diagramme isomorphe A–B : courbes de liquidus et de solidus, conode et fractions de phases f_α et f_L par la règle des leviers pour la co…
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Couple de diffusion : seconde loi de Fick
Couple infini A|B : profils de concentration par la fonction d’erreur, coefficient de diffusion D, temps t et longueur de diffusion 2√(Dt).
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Isothermes d’adsorption
Isothermes de Langmuir, de Freundlich et BET : recouvrement de surface, capacité de monocouche n_m et croissance des multicouches près de…
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Empilements compacts : CFC, CC, HC
Indices de coordination, compacité η, empilement ABC contre AB et maille conventionnelle du cubique centré.
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Colonne chromatographique
Modèle pédagogique de partage : des zones gaussiennes se séparent parce que la rétention sur la phase stationnaire diffère.
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Cinétique de Michaelis–Menten
Saturation v([S]) et représentation de Lineweaver–Burk : pente K_m/V_max, ordonnée à l’origine 1/V_max.
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Réplication de l’ADN
Fourche de réplication, brin avancé et brin retardé, fragments d’Okazaki — croquis statique légendé.
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Pelote statistique d’un polymère
Marche aléatoire sur réseau, rayon de giration ; curseur de l’exposant de Flory ν pour comparer à la pelote idéale ν = ½.
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Réaction de Belousov–Zhabotinsky
Automate cellulaire de Greenberg–Hastings sur un réseau torique : ondes cibles et spirales tournantes, analogue qualitatif de la réaction…
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Désintégration radioactive
Loi N(t) à partir de la période radioactive T₁/₂ ; en option, chaîne père → fils → stable (équations de Bateman).
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Principe de Le Chatelier
Équilibre N₂ + 3H₂ ⇌ 2NH₃ : température, volume, ajout et retrait d’espèces ; comparaison de Q et K.
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Géométrie des molécules (VSEPR)
Doublets liants et non liants sur l'atome central : écriture AXₙEₘ, géométrie électronique, boules et nuages de doublets.
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Pile galvanique
Deux demi-piles, pont salin, voltmètre ; E° et fem de la pile par l'équation de Nernst d'après les concentrations.
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Loi de Hess
Deux étapes face au ΔH direct sur un diagramme de niveaux d'enthalpie ; la somme des marches coïncide avec le ΔH global déclaré.
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Théorie des collisions
Disques durs : chocs élastiques et seuil de vitesse (énergie d'activation) ; température et comparaison à exp(−Eₐ/RT).
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Éclatement en champ cristallin
Octaèdre et tétraèdre : Δ_t = (4/9)Δ_o ; haut et bas spin d⁴–d⁷ d'après l'énergie de stabilisation et l'appariement P.
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Maille élémentaire : CS, CC, CFC
Mailles cubiques CS, CC et CFC : nœuds de réseau, coordinence et nombre d'atomes par maille.
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Expérience de Stern–Gerlach en cascade
Deux appareils de Stern–Gerlach : la probabilité « haut » au second vaut cos²(θ/2) ou sin²(θ/2) après le filtre |±z⟩.
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Molécules en 3D
Molécules courantes en modèle boules et bâtonnets : géométrie, connectivité et multiplicité des liaisons.
- PopulaireEnfants
Tableau périodique de Mendeleïev
Classification périodique : numéro atomique, configuration électronique, propriétés et usages typiques d’un élément.
- Collège–lycée
Configuration électronique
Remplissage des orbitales : règle de Klechkowski, principe de Pauli et règle de Hund.
- Collège–lycée
Équilibrage des équations chimiques
Placement des coefficients stœchiométriques : le nombre d’atomes de chaque élément doit être le même à gauche et à droite.
- Collège–lycée
Échelle de pH
Échelle de pH de 0 à 14 : acidité d’une solution aqueuse, [H⁺] et couleur de l’indicateur universel.
- Collège–lycée
Titrage
Ajout d’une base à un acide : courbe de pH en fonction du volume de titrant et point d’équivalence.
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Vitesse de réaction chimique
Loi d’Arrhenius k(T), ordres 0 / 1 / 2, courbes [A](t) et particules schématiques dans un récipient.
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Formes des orbitales atomiques
Carte de couleurs plane de |ψ|² pour des distributions angulaires de type s, p et d (modèle pédagogique, pas un calcul Hartree–Fock).
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Particule dans un puits de potentiel
Superposition des états n = 1 et n = 2 : évolution de |Ψ|² dans le temps et moyenne ⟨E⟩ (unités du modèle).
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Paquet d’ondes gaussien
Étalement libre : largeur σ(t) issue de la dispersion avec ℏ = m = 1 ; incertitude en position et en impulsion.
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États propres d’un puits de potentiel
États stationnaires ψ_n et |ψ_n|² : puits rectangulaire infini ou oscillateur harmonique ; phase e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).
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Effet tunnel à travers une barrière de potentiel
Coefficient de transmission T(E) pour une onde plane : effet tunnel si E < V₀ et résonances si E > V₀ (ℏ = m = 1).
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Expérience de Stern–Gerlach
Faisceau d’atomes d’argent dans un champ magnétique inhomogène : deux composantes, S_z = ±ℏ/2.
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Sphère de Bloch et oscillations de Rabi
Système à deux niveaux : du/dt = u × ω, ω = (0, Ω, Δ) ; plan u_x–u_z ; si Δ = 0, oscillations de Rabi.
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Atome d’hydrogène : |ψ|²
Z = 1, unités atomiques : |R_nl|² × |Y_lm|² dans le plan xz pour des états de cours n, ℓ.
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Raies spectrales de l’hydrogène
Longueurs d’onde selon la formule de Rydberg 1/λ = R_H (1/n_f² − 1/n_i²) ; séries de Lyman, Balmer et Paschen.
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Principe d’incertitude de Heisenberg
Largeurs gaussiennes en position et en impulsion avec ℏ = 1 ; produit σ_x σ_p et marge au-dessus du minimum ℏ/2.
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Désintégration bêta : spectre des électrons
Lors d’une désintégration β⁻, l’énergie cinétique de l’électron est répartie de façon continue jusqu’à l’extrémité Q ; l’énergie manquant…
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Équation de Nernst
E = E° − (RT/nF) ln Q : potentiel de pile hors conditions standard ; on fait varier E°, le nombre d’électrons n, la température et le quo…
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Solution tampon
Équation de Henderson–Hasselbalch et courbe de pH lors de l’ajout d’un acide fort au mélange HA/A⁻.
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Degré de dissociation d’un acide
α = 1/(1 + 10^(pKa − pH)) ; moitié à pH = pKa ; courbes α et 1 − α en fonction du pH.
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Cycle de Born–Haber
Tableau des étapes ΔH° et escalier d’enthalpie pour NaCl et CaO ; énergie de réseau U = Σ(étapes avant le réseau) − ΔH_f°.
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Cercle de Frost et aromaticité
n-gone inscrit sur les niveaux des OM π de Hückel ; nombre d’électrons π face aux règles 4k+2 et 4k ; remplissage par le bas, deux par or…
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Loi de Henry
p = k_H c et dépendance de k_H(T) à ΔH ; courbe de solubilité c(T) à pression constante.
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Modèle de Gray–Scott
Système réaction–diffusion pour les concentrations u et v : coraux, division de taches, « vers », spirales ; paramètres D_u, D_v et pas Δt.
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Énergie libre de Gibbs
ΔG = ΔH − TΔS ; signe et spontanéité à pression et température constantes (sans Q ni K).