Quasi-probabilité W(x, p) dans l’espace des phases pour un état gaussien monomode : cohérent |α⟩, comprimé déplacé D(α)S(ξ)|0⟩ et thermique. L’ellipse 1σ tourne de la moitié de la phase de compression et se resserre sous la limite du vide sur une quadrature.
À propos du modèle
La fonction de Wigner W(x, p) est une quasi-probabilité dans l’espace des phases pour un état gaussien monomode de l’oscillateur harmonique. Trois familles : l’état cohérent |α⟩, le vide comprimé puis déplacé D(α)S(ξ)|0⟩ et l’état thermique. Pour les états gaussiens, W elle-même est gaussienne : l’ellipse 1σ tourne de la moitié de la phase de compression θ/2 et peut se resserrer sous la limite du vide sur une quadrature — le tableau de base de l’optique quantique à variables continues. Le modèle est strictement monomode et gaussien : pas de non-gaussianité du nombre de photons, pas d’intrication multimode, pas de pertes ni d’imperfection du détecteur. On change l’amplitude α, les paramètres de compression dans ξ = r e^{iθ} et l’occupation thermique : déplacement, rotation et étirement de l’ellipse de Wigner par rapport au cercle du vide.
Public : Fin de licence et master : optique quantique, information quantique à variables continues, chimie physique des modes d’oscillateur.
Notions clés
fonction de Wigner
état cohérent
état comprimé
espace des phases
quasi-probabilité
variables continues
Comment ça marche
La fonction de Wigner W(x, p) pour un état gaussien monomode est une tache gaussienne positive dans le plan des phases. L’état cohérent |α⟩ donne un cercle déplacé de (⟨x⟩, ⟨p⟩) ; la compression S(ξ) avec ξ = r e^{iθ} allonge l’ellipse 1σ et la tourne de θ/2 ; l’état thermique gonfle la tache. À l’écran, le contour par rapport au cercle du vide ; les états non gaussiens à W négative n’entrent pas dans le modèle.
Questions fréquentes
La fonction de Wigner peut-elle être négative ici ?
Pour les états de ce modèle — non. Les états gaussiens purs (cohérents, comprimés déplacés et mélanges gaussiens thermiques) ont une W positive ou nulle. La négativité apparaît chez les états non gaussiens comme les Fock |n⟩ pour n ≥ 1 ou les chats de Schrödinger ; ils n’entrent pas dans le tableau gaussien monomode.
Pourquoi l’ellipse de compression tourne-t-elle de θ/2 et non de θ ?
L’opérateur de compression s’écrit S(ξ) avec ξ = r e^{iθ}. Dans le plan (x, p), les axes principaux de l’ellipse d’incertitude sont orientés sous l’angle θ/2 : tourner la phase de compression de θ fait tourner le grand et le petit axe de la moitié. L’erreur fréquente est d’identifier θ à l’angle de l’ellipse dessinée.
Que signifie « compression sous la limite du vide » ?
Pour le vide, les variances des quadratures sont au plancher d’Heisenberg. La compression diminue le bruit sur une quadrature sous ce niveau, et la quadrature conjuguée se décomprime de sorte que le produit respecte encore le principe d’incertitude. Le contour 1σ devient une ellipse allongée et entre dans le cercle du vide le long de l’axe comprimé.