Pourquoi les niveaux de Landau sont-ils équidistants, comme ceux d’un oscillateur ?

Le couplage minimal au champ électromagnétique (remplacement p → p − qA) ramène l’énergie cinétique dans le plan à un oscillateur harmonique de fréquence ω_c = qB/m. D’où E_n = ħ ω_c (n+½), linéaire en B. Ce n’est pas un ressort extérieur : la « raideur » est fixée par le champ lui-même.

Que signifie n_B = qB/h ?

Chaque niveau de Landau accueille un état par quantum de flux Φ₀ = h/q à travers l’aire de l’échantillon, d’où la densité de dégénérescence qB/h. Remplir un nombre entier de niveaux donne les plateaux de Hall entiers. La résistance de Hall n’est pas calculée ici.

Le rayon d’orbite classique égale-t-il le r_n quantique ?

r_n = ℓ_B √(2n+1) coïncide avec le rayon cyclotron quadratique moyen du niveau n en jauge symétrique et sert à estimer l’échelle. L’état quantique complet est une variété dégénérée de positions du centre d’orbite, et non un seul cercle classique ; le dessin est pédagogique.

Niveaux de Landau

Charge dans un champ magnétique uniforme : échelle E_n = ℏω_c(n+½), fréquence cyclotron ω_c = qB/m, longueur magnétique ℓ_B = √(ℏ/qB). La dégénérescence n_B = qB/h est à la base de l’effet Hall quantique.

À propos du modèle

Les niveaux de Landau : une particule chargée dans un champ magnétique uniforme B occupe des niveaux équidistants E_n = ħ ω_c (n+½), de fréquence cyclotron ω_c = qB/m. La longueur magnétique ℓ_B = √(ħ/qB) fixe l’échelle de l’orbite ; le rayon cyclotron classique du niveau n vaut r_n = ℓ_B √(2n+1). À l’écran : l’orbite cyclotron et un éventail d’énergies linéaires en B ; la densité surfacique de dégénérescence n_B = qB/h est à la base de l’effet Hall quantique entier. Le modèle est une charge libre unique dans un B perpendiculaire uniforme, sans désordre, sans champ électrique ni dédoublement de Zeeman. On fait varier B et l’indice n : écart entre niveaux et taille de l’orbite.

Public : Physique de la matière condensée et mécanique quantique de licence : quantification de Landau et effet Hall quantique.

Notions clés

niveaux de Landau
fréquence cyclotron
longueur magnétique
effet Hall quantique
densité de dégénérescence
éventail de Landau

Comment ça marche

Charge dans un champ B uniforme : E_n = ħω_c(n+½), ω_c = qB/m, longueur magnétique ℓ_B = √(ħ/qB), rayon r_n = ℓ_B √(2n+1). À l’écran : orbite cyclotron et éventail de niveaux linéaires en B. La densité de dégénérescence n_B = qB/h est le fondement de l’effet Hall quantique entier. On fait varier B et le numéro de niveau n.

Questions fréquentes

Pourquoi les niveaux de Landau sont-ils équidistants, comme ceux d’un oscillateur ?: Le couplage minimal au champ électromagnétique (remplacement p → p − qA) ramène l’énergie cinétique dans le plan à un oscillateur harmonique de fréquence ω_c = qB/m. D’où E_n = ħ ω_c (n+½), linéaire en B. Ce n’est pas un ressort extérieur : la « raideur » est fixée par le champ lui-même.
Que signifie n_B = qB/h ?: Chaque niveau de Landau accueille un état par quantum de flux Φ₀ = h/q à travers l’aire de l’échantillon, d’où la densité de dégénérescence qB/h. Remplir un nombre entier de niveaux donne les plateaux de Hall entiers. La résistance de Hall n’est pas calculée ici.
Le rayon d’orbite classique égale-t-il le r_n quantique ?: r_n = ℓ_B √(2n+1) coïncide avec le rayon cyclotron quadratique moyen du niveau n en jauge symétrique et sert à estimer l’échelle. L’état quantique complet est une variété dégénérée de positions du centre d’orbite, et non un seul cercle classique ; le dessin est pédagogique.

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