Pourquoi les barres |ψ|² ne changent-elles pas quand on anime la phase ?

Pour un état propre, le temps n’entre que par la phase globale e^{−iE_n t/ℏ}, et |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². La courbe jaune est la partie réelle : celle-là oscille.

Pourquoi E_n ∝ n² dans le puits et E_n = (n + ½)ℏω pour l’oscillateur ?

Le spectre est fixé par le potentiel. Des parois rectangulaires donnent une croissance quadratique avec le numéro de niveau ; la parabole V = ½mω²x² donne un pas uniforme ℏω et une énergie de point zéro non nulle.

Qu’est-ce qu’un nœud de la fonction d’onde ?

Un point où ψ = 0, donc aussi |ψ|² = 0. Dans le puits infini, l’état n a n − 1 nœuds entre les parois ; pour l’oscillateur, le nombre de nœuds vaut aussi n (si le fondamental est n = 0).

États propres d’un puits de potentiel

États stationnaires ψ_n et |ψ_n|² : puits rectangulaire infini ou oscillateur harmonique ; phase e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).

À propos du modèle

Les états propres d’un puits de potentiel : deux potentiels de cours, le puits rectangulaire infini sur [0, L] et l’oscillateur harmonique quantique. Dans le puits, ψ_n ∝ sin(nπx/L), E_n ∝ n² ; pour l’oscillateur, ψ_n sont des polynômes d’Hermite multipliés par une gaussienne, E_n = (n + ½)ℏω. Unités du modèle : pour le puits ℏ = m = L = 1, pour l’oscillateur ℏ = m = ω = 1. La courbe jaune est ψ_n ou Re(Ψ), les barres bleues |ψ|². Le facteur de phase e^{−iE_n t/ℏ} fait tourner l’amplitude complexe, mais pour un niveau pur |ψ|² ne change pas. On compare le nombre de nœuds et le pas des niveaux dans le puits et dans la parabole.

Public : Introduction à la mécanique quantique : quantification dans le puits et dans l’oscillateur harmonique.

Notions clés

puits de potentiel infini
oscillateur harmonique
polynômes d’Hermite
quantification de l’énergie
densité de probabilité
état stationnaire

Comment ça marche

On passe du puits infini à l’oscillateur harmonique et l’on change n. La courbe jaune est ψ_n ou Re(Ψ), les barres bleues |ψ|². Pour un niveau pur, la phase fait tourner l’amplitude ; la densité ne change pas.

Questions fréquentes

Pourquoi les barres |ψ|² ne changent-elles pas quand on anime la phase ?: Pour un état propre, le temps n’entre que par la phase globale e^{−iE_n t/ℏ}, et |e^{−iφ} ψ_n|² = |ψ_n|². La courbe jaune est la partie réelle : celle-là oscille.
Pourquoi E_n ∝ n² dans le puits et E_n = (n + ½)ℏω pour l’oscillateur ?: Le spectre est fixé par le potentiel. Des parois rectangulaires donnent une croissance quadratique avec le numéro de niveau ; la parabole V = ½mω²x² donne un pas uniforme ℏω et une énergie de point zéro non nulle.
Qu’est-ce qu’un nœud de la fonction d’onde ?: Un point où ψ = 0, donc aussi |ψ|² = 0. Dans le puits infini, l’état n a n − 1 nœuds entre les parois ; pour l’oscillateur, le nombre de nœuds vaut aussi n (si le fondamental est n = 0).

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