Pourquoi le paquet s’étale-t-il s’il n’y a pas de force ?

Ce n’est pas une force, c’est la dispersion. Le paquet est une superposition d’ondes planes de p différents ; la vitesse de phase de la particule libre dépend de p, les composantes s’écartent et la distribution en x s’élargit.

Que signifie ℏ = m = 1 ?

Unités du modèle : on retire les constantes des formules pour voir les dépendances. Pour passer au SI, on réintroduit le ℏ réel et la masse.

Comment k₀ est-il lié au mouvement du paquet ?

L’impulsion moyenne est ⟨p⟩ = ℏk₀, la vitesse de groupe du centre v_g = ℏk₀/m. Un k₀ plus grand emporte plus vite la bosse du paquet, mais l’étalement est fixé par l’écart en p, non par le k₀ moyen.

Un paquet libre peut-il cesser de s’étaler ?

Non : σ(t) croît sans limite. Un potentiel extérieur peut arrêter ou inverser l’étalement, par exemple l’oscillateur harmonique (états cohérents). Ici le potentiel est nul.

Paquet d’ondes gaussien

Étalement libre : largeur σ(t) issue de la dispersion avec ℏ = m = 1 ; incertitude en position et en impulsion.

À propos du modèle

Le paquet d’ondes gaussien est une particule libre localisée : largeur initiale σ₀ et nombre d’onde moyen k₀, état d’incertitude minimale. Même sans potentiel, le paquet s’étale : la dispersion de la particule libre E = p²/2m fait voyager les composantes de Fourier à des vitesses de phase différentes. La largeur vaut σ(t) = σ₀ √(1 + (ℏt /(2mσ₀²))²) ; ici ℏ = m = 1. Plus le paquet est étroit en position, plus l’écart en impulsion est large et plus l’étalement est rapide — conséquence de σ_x σ_p ≥ ℏ/2. La vitesse de groupe du centre est liée à l’impulsion moyenne ⟨p⟩ = ℏk₀. Une onde plane de p bien défini ne s’étale pas, mais n’est pas localisée.

Public : Introduction à la mécanique quantique : paquets d’ondes et principe d’incertitude.

Notions clés

paquet d’ondes
équation de Schrödinger
principe d’incertitude
étalement du paquet
relation de dispersion
vitesse de groupe
transformée de Fourier

Comment ça marche

Paquet gaussien libre avec ℏ = m = 1 : plus la localisation initiale est étroite, plus l’écart en impulsion est large et plus σ(t) croît vite. Les pointillés marquent ±σ ; la densité |ψ|² reste gaussienne.

Questions fréquentes

Pourquoi le paquet s’étale-t-il s’il n’y a pas de force ?: Ce n’est pas une force, c’est la dispersion. Le paquet est une superposition d’ondes planes de p différents ; la vitesse de phase de la particule libre dépend de p, les composantes s’écartent et la distribution en x s’élargit.
Que signifie ℏ = m = 1 ?: Unités du modèle : on retire les constantes des formules pour voir les dépendances. Pour passer au SI, on réintroduit le ℏ réel et la masse.
Comment k₀ est-il lié au mouvement du paquet ?: L’impulsion moyenne est ⟨p⟩ = ℏk₀, la vitesse de groupe du centre v_g = ℏk₀/m. Un k₀ plus grand emporte plus vite la bosse du paquet, mais l’étalement est fixé par l’écart en p, non par le k₀ moyen.
Un paquet libre peut-il cesser de s’étaler ?: Non : σ(t) croît sans limite. Un potentiel extérieur peut arrêter ou inverser l’étalement, par exemple l’oscillateur harmonique (états cohérents). Ici le potentiel est nul.

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