Ondes et son
Propagation, interférences, effet Doppler et visualisation du son
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Lévitation acoustique
Onde stationnaire P ∝ cos(kx)cos(ωt) ; nœuds de pression ; bille près d’un nœud — schéma, pas un piège tridimensionnel.
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Antenne acoustique à commande de phase
N sources, pas d/λ et déphasage Δφ : direction du lobe principal, facteur de réseau AF(θ).
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Figures de Chladni
Mode d’une plaque carrée sin(mπx/L)sin(nπy/L) ; le sable quitte les ventres et s’accumule sur les lignes nodales.
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Oscillations d’une membrane circulaire
Modes propres d’un tambour : J_m(k_{mn} r) cos(mθ) ; diamètres nodaux m et anneaux n.
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Écho et sonar
Temps d’aller-retour t = 2d/v ; impulsion vers un obstacle et retour, vitesse du son réglable.
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Vitesse d’une onde : corde et barre
v = √(T/μ) pour une onde transversale sur une corde et v ≈ √(E/ρ) pour une onde longitudinale dans une barre.
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Oscillateur LC
Circuit LC série idéal : q(t), I(t), ω₀ = 1/√(LC) ; la somme des énergies U_C + U_L est constante.
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Effet Larsen (rétroaction)
Microphone, haut-parleur et retard : gain de boucle et saturation dans un modèle discret d’enseignement.
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Oscillateur de Duffing
mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt ; ressort mou et ressort dur ; l’amplitude A(ω) dépend des conditions initiales.
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Paquet d’ondes et dispersion
Superposition de cos(kx − ωt) ; ω = ck + αk² ; étalement du paquet comparé à une onde sur une corde.
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Cône de Mach
M = v/c > 1 : construction de Huygens et cône sin μ = 1/M ; ce n’est pas un calcul d’onde de choc dans un gaz.
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Monocorde (sonomètre)
Son fondamental f₁ = (1/2L)√(T/μ) ; harmoniques, ondes stationnaires, hauteur du son.
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Principe de Huygens
Sources secondaires sur une fente ; superposition et diffraction ; schéma, pas l’intégrale complète.
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Pendule non linéaire forcé
θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt ; trajectoire de phase ; un degré de liberté, pas un pendule double.
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Ondes sismiques P et S
Mouvement longitudinal et transversal des particules ; curseurs v_P et v_S, sans couches terrestres.
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Dispersion des vagues ω(k)
Vagues de gravité : limites d’eau peu profonde ω = k√(gh), d’eau profonde ω = √(gk) et relation complète ω² = gk tanh(kh).
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Tsunami et ondes en eau peu profonde
Longue onde sur une profondeur variable H(x) : la célérité c = √(gH) chute sur le plateau, l’amplitude croît. Source : soulèvement gaussi…
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Surcote de tempête (modèle baignoire)
Niveau près du rivage comme somme du baromètre inverse Δη_p = Δp/(ρg) et de la surcote de vent τL/(ρgH) sur le plateau ; la marée astrono…
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Constituantes de marée et battements
Somme des harmoniques M2, S2, K1 et O1 : cycle vive-eau / morte-eau, inégalité diurne et schéma de phase amphidromique.
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Sillage de Kelvin
Sillage en V en eau profonde : rayons à arcsin(1/3) ≈ 19,47° de part et d’autre de la route ; l’angle ne dépend pas de la vitesse du navire.
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Solitons de KdV
Équation de Korteweg–de Vries u_t + 6uu_x + u_xxx = 0 : impulsion isolée sech² ou collision élastique de deux solitons selon Hirota.
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Onde sur une corde
Onde transversale sur une corde : excitation d’une extrémité, réflexions et figures presque stationnaires près de la résonance.
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Ondes transversales et longitudinales
Une même sinusoïde progressive : oscillations transversales, perpendiculaires à la propagation, et longitudinales — le long de celle-ci,…
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Interférences
Deux sources cohérentes dans une cuve à ondes bidimensionnelle : maxima et minima, différence de marche Δ = d sin θ.
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Ondes stationnaires
Ondes stationnaires sur une corde fixée : harmoniques, nœuds et ventres.
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Effet Doppler
Source sonore en mouvement : compression des fronts en avant, étirement en arrière et changement de hauteur pour un observateur immobile.
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Effet Doppler de la lumière et décalage vers le rouge
Effet Doppler longitudinal relativiste dans le vide : f/f₀ et z en fonction de β = v/c ; approximation linéaire Δλ/λ ≈ v/c contre la form…
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Réverbération d’une pièce
Rayons spéculaires dans une pièce rectangulaire : réponse impulsionnelle, RT60 et estimation de Sabine ; absorption α à chaque réflexion.
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Annulation active du bruit
Deux sons de même fréquence : réglage de l’amplitude et de la phase de l’anti-bruit ; somme en valeur efficace pour un déphasage idéal de π.
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Analyse modale d’une poutre d’Euler–Bernoulli
Les trois premiers modes de flexion : valeurs propres λ issues des conditions aux limites ; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Appuis simples, console, e…
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Vitesses de groupe et de phase
Battements de deux ondes avec la dispersion ω(k) = ck + αk² : l’enveloppe avance à v_g = Δω/Δk, les crêtes à v_p = ω̄/k̄.
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Tuyau d’orgue
Ondes stationnaires dans une colonne d’air : tuyau ouvert f_n = n v/(2L) et fermé f_n = (2n−1) v/(4L) ; profil de pression et série harmo…
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Forme et spectre du son
Oscillogramme de pression et spectre de fréquences depuis le microphone : le signal vivant se décompose par transformée de Fourier.
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Fréquence de battement
Deux sons voisins se superposent : l’intensité pulse à la fréquence de battement |f₁ − f₂|.
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Tube de résonance
Ondes de pression stationnaires dans un tube ouvert ou fermé : fₙ = n v/(2L) ou (2n−1) v/(4L) — voie de laboratoire vers la vitesse du son.
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Seuil d’audition
Seuil qualitatif en fonction de la fréquence ; comparaison avec les courbes d’égale sensation sonore (isophones).
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Équation d’onde bidimensionnelle (membrane)
Schéma explicite sur un rectangle à bord fixé : impulsion gaussienne, fronts circulaires, réflexions sur les bords.