Pourquoi deux points K et K′ ?

La zone de Brillouin hexagonale a deux sommets non équivalents, liés par inversion. Si Δ = 0, chacun porte un croisement linéaire des bandes.

Qu’est-ce qui ouvre la bande interdite ?

Un décalage des énergies des sous-réseaux ε_A = −Δ, ε_B = +Δ. Aux points K et K′, où |φ| = 0, la bande interdite vaut 2Δ et ne dépend pas de τ.

Qu’est-ce que φ(k) ?

La somme des facteurs de phase des trois sauts entre A et B ; son module fixe la séparation des bandes loin de K.

Dans quelle mesure est-ce fidèle au graphène réel ?

Qualitativement. Il faut ajuster τ et a ≈ 1,42 Å, tenir compte de la déformation et des interactions ; ici, le modèle de Dirac canonique à deux bandes.

Structure de bandes du graphène

Réseau en nid d’abeille, bandes π/π* le long de Γ–M–K–Γ, cônes de Dirac aux points K et K′ si Δ = 0, bande interdite 2Δ par décalage des sous-réseaux et carte E(k) dans la zone de Brillouin.

À propos du modèle

La structure de bandes du graphène, à basse énergie, se décrit par l’approximation des liaisons fortes sur un réseau en nid d’abeille à sous-réseaux A et B. Pour les vecteurs des plus proches voisins (0, a) et (±√3 a/2, −a/2), le facteur de structure φ(k) = e^{i a k_y} + 2 e^{−i a k_y/2} cos(√3 a k_x/2) s’annule aux points K et K′, d’où des bandes linéaires E_±(k) = ±√(Δ² + τ²|φ(k)|²) lorsque les énergies des sous-réseaux valent ±Δ. Si Δ = 0, les cônes de Dirac se touchent, v_F ≈ (3/2)τa ; si Δ est fini, une bande interdite 2Δ s’ouvre en K et K′. À l’écran : E(k) le long de Γ → M → K → Γ, carte de la bande π dans la première zone de Brillouin et points K, K′. Modèle π à deux bandes, sans sauts aux seconds voisins, sans déformation trigonale ni couplage spin-orbite.

Public : Cours avancés de physique du solide, après le théorème de Bloch.

Notions clés

graphène
réseau en nid d’abeille
approximation des liaisons fortes
cône de Dirac
zone de Brillouin
bande interdite
vitesse de Fermi

Comment ça marche

Réseau en nid d’abeille, hamiltonien π des liaisons fortes : φ(k) = e^{i a k_y} + 2 e^{−i a k_y/2} cos(√3 a k_x/2) ; E_± = ±√(Δ² + τ²|φ|²). Aux points K et K′, |φ| = 0 : si Δ = 0, cônes de Dirac linéaires, v_F ≈ (3/2)τa ; si Δ ≠ 0, bande interdite 2Δ. Chemin Γ–M–K–Γ et carte de la bande π dans la première zone de Brillouin.

Questions fréquentes

Pourquoi deux points K et K′ ?: La zone de Brillouin hexagonale a deux sommets non équivalents, liés par inversion. Si Δ = 0, chacun porte un croisement linéaire des bandes.
Qu’est-ce qui ouvre la bande interdite ?: Un décalage des énergies des sous-réseaux ε_A = −Δ, ε_B = +Δ. Aux points K et K′, où |φ| = 0, la bande interdite vaut 2Δ et ne dépend pas de τ.
Qu’est-ce que φ(k) ?: La somme des facteurs de phase des trois sauts entre A et B ; son module fixe la séparation des bandes loin de K.
Dans quelle mesure est-ce fidèle au graphène réel ?: Qualitativement. Il faut ajuster τ et a ≈ 1,42 Å, tenir compte de la déformation et des interactions ; ici, le modèle de Dirac canonique à deux bandes.

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