Pourquoi |Ψ|² « bascule-t-elle » alors que ⟨E⟩ ne change pas ?

Les états n = 1 et n = 2 acquièrent des phases différentes, et le terme d’interférence dans |Ψ|² oscille. Les poids |c₁|² et |c₂|² sont constants, donc la moyenne d’énergie — somme pondérée de E₁ et E₂ — ne dépend pas du temps.

La particule est-elle à la fois sur deux niveaux ?

Avant une mesure de l’énergie, le système est en superposition, et non « tantôt n = 1, tantôt n = 2 ». La mesure donne E₁ ou E₂ avec les probabilités |c₁|² et |c₂|². Avant, il n’y a pas d’énergie définie dans cette paire.

Quelles limites a le modèle du puits infini ?

Les parois réelles sont finies : il y a de l’effet tunnel. L’espace est unidimensionnel, pas de spin. Pourtant la quantification, les nœuds de ψ_n et la superposition se voient déjà — c’est le premier exemple standard du cours.

Où rencontre-t-on ce puits « dans la vie » ?

Comme modèle grossier d’un électron dans une boîte quantique, ou des électrons π d’une chaîne conjuguée (butadiène et analogues) : les niveaux sont discrets et se voient dans le spectre.

Particule dans un puits de potentiel

Superposition des états n = 1 et n = 2 : évolution de |Ψ|² dans le temps et moyenne ⟨E⟩ (unités du modèle).

À propos du modèle

La particule dans un puits de potentiel infiniment profond, unidimensionnel, de largeur L : ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L), E_n = n²π²ℏ²/(2mL²). À l’écran, la superposition non stationnaire Ψ(x,t) = c₁ ψ₁ e^{−iE₁t/ℏ} + c₂ ψ₂ e^{−iE₂t/ℏ}. La densité |Ψ|² oscille par interférence à la fréquence (E₂−E₁)/ℏ ; la moyenne ⟨E⟩ = |c₁|²E₁ + |c₂|²E₂ reste constante. Parois infinies : pas d’effet tunnel ; spin et relativité sont omis. Les amplitudes c₁ et c₂ fixent la part du fondamental et du premier niveau excité.

Public : Introduction à la mécanique quantique et à la chimie physique : particule dans un puits, superposition, équation de Schrödinger.

Notions clés

particule dans un puits de potentiel
fonction d’onde
densité de probabilité
état stationnaire
superposition
équation de Schrödinger
quantification de l’énergie

Comment ça marche

Puits infiniment profond : ψ_n ∝ sin(nπx/L), E_n ∝ n². La superposition n = 1 et n = 2 donne des battements de |Ψ|² à la fréquence (E₂−E₁)/ℏ ; ⟨E⟩ reste constant. Le trait jaune est la forme de ψ₁, pour comparaison.

Questions fréquentes

Pourquoi |Ψ|² « bascule-t-elle » alors que ⟨E⟩ ne change pas ?: Les états n = 1 et n = 2 acquièrent des phases différentes, et le terme d’interférence dans |Ψ|² oscille. Les poids |c₁|² et |c₂|² sont constants, donc la moyenne d’énergie — somme pondérée de E₁ et E₂ — ne dépend pas du temps.
La particule est-elle à la fois sur deux niveaux ?: Avant une mesure de l’énergie, le système est en superposition, et non « tantôt n = 1, tantôt n = 2 ». La mesure donne E₁ ou E₂ avec les probabilités |c₁|² et |c₂|². Avant, il n’y a pas d’énergie définie dans cette paire.
Quelles limites a le modèle du puits infini ?: Les parois réelles sont finies : il y a de l’effet tunnel. L’espace est unidimensionnel, pas de spin. Pourtant la quantification, les nœuds de ψ_n et la superposition se voient déjà — c’est le premier exemple standard du cours.
Où rencontre-t-on ce puits « dans la vie » ?: Comme modèle grossier d’un électron dans une boîte quantique, ou des électrons π d’une chaîne conjuguée (butadiène et analogues) : les niveaux sont discrets et se voient dans le spectre.

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