Pourquoi le paquet d’un état cohérent ne s’étale-t-il pas, contrairement à un gaussien libre ?

Dans l’oscillateur harmonique les niveaux sont équidistants, donc les phases relatives des composantes de n différents se retrouvent à chaque période. L’état cohérent est un gaussien d’incertitude minimale à la largeur de l’état fondamental ; le potentiel de rappel maintient σ = 1/√2 pendant que le centre oscille. Dans l’espace libre il n’y a pas ce potentiel, et le paquet s’étale.

⟨x⟩(t) est-il vraiment exactement classique ?

Pour un état cohérent dans un puits purement harmonique, le théorème d’Ehrenfest donne des équations fermées pour ⟨x⟩ et ⟨p⟩, identiques aux lois de Newton, donc ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) coïncide avec l’orbite classique. Une anharmonicité ferait dévier les moyennes quantiques d’une unique trajectoire classique.

Que se passe-t-il si |α| est très petit ?

État cohérent d’un oscillateur harmonique

Paquet gaussien de l’état cohérent |α⟩ dans un puits harmonique à une dimension : largeur σ = 1/√2 constante, le centre suit l’orbite classique ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α).

À propos du modèle

L’état cohérent |α⟩ dans l’oscillateur harmonique quantique à une dimension est un paquet gaussien de largeur fixe σ = 1/√2 (unités ħ = m = ω = 1), dont le centre suit l’orbite classique ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α). À côté : un point dans l’espace des phases, la densité |ψ(x,t)|² et la trace ⟨x⟩(t). Le modèle est un état cohérent pur dans un puits harmonique idéal : sans anharmonicité, ni décohérence, ni compression. Les paramètres |α| et φ_α fixent le rayon de l’orbite et la phase initiale ; la forme du paquet ne s’étale pas, la moyenne suit le mouvement harmonique classique.

Public : Mécanique quantique et optique quantique de licence et début de master : états cohérents et limite classique de l’oscillateur.

Notions clés

état cohérent
oscillateur harmonique
paquet d’ondes gaussien
valeur moyenne
orbite classique
espace des phases

Comment ça marche

L’état cohérent |α⟩ est un gaussien à la largeur de l’état fondamental σ = 1/√2. Le centre du paquet suit ⟨x⟩(t) = √2|α|cos(ωt − φ_α) ; dans l’espace des phases, c’est un cercle de rayon |α|. L’équidistance des niveaux ħω(n+½) empêche l’étalement. À l’écran : |ψ(x,t)|², un marqueur dans le plan des phases et le graphe ⟨x⟩(t).

Questions fréquentes

Pourquoi le paquet d’un état cohérent ne s’étale-t-il pas, contrairement à un gaussien libre ?: Dans l’oscillateur harmonique les niveaux sont équidistants, donc les phases relatives des composantes de n différents se retrouvent à chaque période. L’état cohérent est un gaussien d’incertitude minimale à la largeur de l’état fondamental ; le potentiel de rappel maintient σ = 1/√2 pendant que le centre oscille. Dans l’espace libre il n’y a pas ce potentiel, et le paquet s’étale.
⟨x⟩(t) est-il vraiment exactement classique ?: Pour un état cohérent dans un puits purement harmonique, le théorème d’Ehrenfest donne des équations fermées pour ⟨x⟩ et ⟨p⟩, identiques aux lois de Newton, donc ⟨x⟩(t) = √2 |α| cos(ωt − φ_α) coïncide avec l’orbite classique. Une anharmonicité ferait dévier les moyennes quantiques d’une unique trajectoire classique.
Que se passe-t-il si |α| est très petit ?: Quand |α| → 0, l’état tend vers le fondamental |0⟩ : centre à l’origine, |ψ|² est le gaussien du vide. Un |α| fini ne fait que déplacer le même paquet, en forme, sur une plus grande ellipse classique ; il n’y a pas de seuil où le mouvement « devient soudain classique ».

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