Pourquoi le sable se rassemble-t-il sur les nœuds, et non aux ventres ?

La plaque vibre perpendiculairement à son plan. Aux ventres, l’accélération est maximale — les grains sont projetés. Sur les lignes nodales, le déplacement est nul : les particules y glissent et y restent.

Que signifient les nombres m et n ?

Combien de demi-ondes tiennent le long des côtés du carré. Pour le mode (2, 1), deux demi-ondes selon x et une selon y. À l’intérieur de la plaque, il y aura m−1 lignes nodales parallèles à l’axe y, et n−1 parallèles à l’axe x.

Pourquoi, sur un violon, le dessin n’est-il pas aussi régulier ?

Le produit de sinus n’est exact que pour un carré à bords simplement appuyés. Un cercle, un bord libre, la table d’un violon donnent d’autres fonctions propres. Il y a encore des nœuds, mais les lignes sont courbes.

Figures de Chladni

Mode d’une plaque carrée sin(mπx/L)sin(nπy/L) ; le sable quitte les ventres et s’accumule sur les lignes nodales.

À propos du modèle

Les figures de Chladni : du sable ou du sel sur une plaque vibrante se rassemble là où la plaque ne bouge pas. Pour une plaque carrée mince de côté L, à bords simplement appuyés, le déplacement du mode (m, n) s’écrit ψ ∝ sin(mπx/L) sin(nπy/L) ; les fréquences croissent à peu près comme m² + n². Aux ventres, l’accélération est grande — les grains sont projetés ; sur les lignes nodales, le déplacement est nul — ils s’y déposent. À l’écran, une carte en couleurs du mode et la dérive des particules vers les nœuds. L’amortissement, la non-linéarité et les bords libres d’une vraie plaque de Chladni ne sont pas pris en compte.

Public : Oscillations et ondes en licence : modes propres d’une plaque, nœuds et ventres.

Notions clés

figures de Chladni
onde stationnaire
mode propre
ligne nodale
ventre
résonance

Comment ça marche

Sur une plaque en résonance, le sable quitte les ventres et s’accumule sur les lignes nodales, où le mode de flexion est immobile. Pour un carré à bords simplement appuyés, ψ ∝ sin(mπx/L) sin(nπy/L). À l’écran, la carte de déplacement et la dérive des grains vers les nœuds — schéma d’un mode, et non un calcul complet de plaque.

Questions fréquentes

Pourquoi le sable se rassemble-t-il sur les nœuds, et non aux ventres ?: La plaque vibre perpendiculairement à son plan. Aux ventres, l’accélération est maximale — les grains sont projetés. Sur les lignes nodales, le déplacement est nul : les particules y glissent et y restent.
Que signifient les nombres m et n ?: Combien de demi-ondes tiennent le long des côtés du carré. Pour le mode (2, 1), deux demi-ondes selon x et une selon y. À l’intérieur de la plaque, il y aura m−1 lignes nodales parallèles à l’axe y, et n−1 parallèles à l’axe x.
Pourquoi, sur un violon, le dessin n’est-il pas aussi régulier ?: Le produit de sinus n’est exact que pour un carré à bords simplement appuyés. Un cercle, un bord libre, la table d’un violon donnent d’autres fonctions propres. Il y a encore des nœuds, mais les lignes sont courbes.

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