Pourquoi dit-on que le pendule est non linéaire ?

Le terme de rappel est proportionnel à sinθ, pas à θ. Aux petits angles, sinθ ≈ θ et le mouvement est presque harmonique. Aux grands angles, l’approximation casse : plusieurs périodes sont possibles à une même pulsation d’excitation, ainsi que le chaos déterministe.

Que montre la trajectoire de phase ?

Chaque point est un couple (θ, θ̇), l’état complet à cet instant. Sans excitation, avec amortissement, la trajectoire spiralise vers le point bas. Avec excitation, on voit des boucles fermées (période) ou des courbes qui ne se répètent pas (chaos).

Le chaos, est-ce un bruit aléatoire ?

Non : l’équation est la même. Mais une différence aussi petite qu’on veut sur l’angle ou la vitesse initiale donne une tout autre trajectoire à long terme. On ne peut pratiquement pas prévoir loin, même si la loi du mouvement est déterministe.

En quoi cela diffère-t-il du pendule double ?

Ici une seule coordonnée θ ; le chaos vient de la non-linéarité et de la force extérieure. Le pendule double a deux coordonnées couplées ; le chaos peut apparaître sans excitation. La source de la complexité n’est pas la même.

Pendule non linéaire forcé

θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt ; trajectoire de phase ; un degré de liberté, pas un pendule double.

Graphiques

À propos du modèle

Le pendule non linéaire forcé : θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. Aux grands angles, on ne peut plus remplacer sinθ par θ — d’où la courbure de la résonance, plusieurs périodes et, pour une excitation forte, une sensibilité aux conditions initiales. À l’écran : l’angle et la trajectoire de phase (θ, θ̇). Un seul degré de liberté ; le pendule double est un autre problème : deux coordonnées couplées, souvent sans force extérieure.

Public : Dynamique non linéaire de L1 : oscillations forcées d’un pendule, portrait de phase.

Notions clés

pendule non linéaire
oscillations forcées
espace des phases
amortissement
chaos
attracteur

Comment ça marche

Pendule plan avec amortissement linéaire et moment harmonique : θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. Aux petits angles, sinθ ≈ θ — oscillateur linéaire forcé. Grands angles et forte excitation donnent des trajectoires non linéaires, souvent sensibles. À l’écran : θ(t) et le portrait de phase.

Formules

θ¨ + γ θ˙ + (g/L) sin θ = A cos(ω t)

Questions fréquentes

Pourquoi dit-on que le pendule est non linéaire ?: Le terme de rappel est proportionnel à sinθ, pas à θ. Aux petits angles, sinθ ≈ θ et le mouvement est presque harmonique. Aux grands angles, l’approximation casse : plusieurs périodes sont possibles à une même pulsation d’excitation, ainsi que le chaos déterministe.
Que montre la trajectoire de phase ?: Chaque point est un couple (θ, θ̇), l’état complet à cet instant. Sans excitation, avec amortissement, la trajectoire spiralise vers le point bas. Avec excitation, on voit des boucles fermées (période) ou des courbes qui ne se répètent pas (chaos).
Le chaos, est-ce un bruit aléatoire ?: Non : l’équation est la même. Mais une différence aussi petite qu’on veut sur l’angle ou la vitesse initiale donne une tout autre trajectoire à long terme. On ne peut pratiquement pas prévoir loin, même si la loi du mouvement est déterministe.
En quoi cela diffère-t-il du pendule double ?: Ici une seule coordonnée θ ; le chaos vient de la non-linéarité et de la force extérieure. Le pendule double a deux coordonnées couplées ; le chaos peut apparaître sans excitation. La source de la complexité n’est pas la même.

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