En quoi Duffing diffère-t-il d’un oscillateur linéaire ?

Pour un ressort linéaire, F = −kx, la courbe de résonance est univoque. Le terme −k₃x³ courbe A(ω) : sur un intervalle de fréquences, deux amplitudes stables ; si ω varie lentement, l’amplitude saute.

Qu’est-ce que l’hystérésis sur la courbe A(ω) ?

L’état dépend de l’histoire. Si la fréquence croît, l’amplitude suit la branche haute puis chute d’un coup ; si elle décroît, le saut vers le haut a lieu à une autre fréquence. La boucle sur le graphe A(ω), c’est précisément cela.

Où trouve-t-on un « ressort dur » en technique ?

Poutre ou panneau encastré à grande flèche : la surface moyenne s’allonge, la raideur effective croît. Ainsi calcule-t-on les oscillations non linéaires des plaques, des ailes et des MEMS, pour ne pas manquer un saut d’amplitude.

Oscillateur de Duffing

mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt ; ressort mou et ressort dur ; l’amplitude A(ω) dépend des conditions initiales.

Graphiques

À propos du modèle

L’oscillateur de Duffing décrit des oscillations forcées avec une force de rappel cubique : mẍ + cẋ + kx + k₃x³ = F cos ωt. Si k₃ > 0, le ressort durcit avec l’amplitude ; si k₃ < 0, il s’adoucit. La courbe de résonance A(ω) s’infléchit : il apparaît une bistabilité et une hystérésis ; l’amplitude établie dépend des conditions initiales et du sens de variation de la fréquence. À l’écran : x(t) et deux balayages A(ω) — depuis le repos et depuis un départ décalé. Le chaos à forte excitation n’est pas traité ici.

Public : Licence, dynamique non linéaire : oscillations forcées, ressort mou et ressort dur.

Notions clés

oscillateur de Duffing
force de rappel cubique
ressort mou
ressort dur
hystérésis
bistabilité

Comment ça marche

À un oscillateur amorti excité harmoniquement s’ajoute une raideur cubique k₃x³. Si k₃ < 0, le pic de résonance part vers la gauche (adoucissement) ; si k₃ > 0, vers la droite (durcissement). À une même ω, l’amplitude peut différer selon les conditions initiales — on le voit sur les deux balayages A(ω).

Formules

m x'' + c x' + k x + k₃ x³ = F₀ cos(ωt)

Questions fréquentes

En quoi Duffing diffère-t-il d’un oscillateur linéaire ?: Pour un ressort linéaire, F = −kx, la courbe de résonance est univoque. Le terme −k₃x³ courbe A(ω) : sur un intervalle de fréquences, deux amplitudes stables ; si ω varie lentement, l’amplitude saute.
Qu’est-ce que l’hystérésis sur la courbe A(ω) ?: L’état dépend de l’histoire. Si la fréquence croît, l’amplitude suit la branche haute puis chute d’un coup ; si elle décroît, le saut vers le haut a lieu à une autre fréquence. La boucle sur le graphe A(ω), c’est précisément cela.
Où trouve-t-on un « ressort dur » en technique ?: Poutre ou panneau encastré à grande flèche : la surface moyenne s’allonge, la raideur effective croît. Ainsi calcule-t-on les oscillations non linéaires des plaques, des ailes et des MEMS, pour ne pas manquer un saut d’amplitude.

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