Pourquoi le paquet s’étale-t-il lorsque α ≠ 0 ?

Si α ≠ 0, chaque harmonique a sa propre vitesse de phase. À t = 0, les crêtes coïncident et forment une bosse ; ensuite les composantes rapides partent en avant, les lentes restent en arrière : l’enveloppe s’élargit, la hauteur diminue.

En quoi la vitesse de phase diffère-t-elle de la vitesse de groupe ?

La vitesse de phase v_p = ω/k est celle des crêtes d’une sinusoïde. La vitesse de groupe v_g = dω/dk est celle de l’enveloppe du paquet et du transport d’énergie. Dans un milieu dispersif, elles diffèrent. Le sommet de l’enveloppe gaussienne se déplace à v_g.

Pourquoi, sur une corde idéale, une impulsion ne s’étale-t-elle pas ?

L’équation d’onde ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² donne ω = ck : toutes les harmoniques vont à la même vitesse c. La forme de tout profil se conserve. C’est l’idéalisation d’une corde flexible homogène.

Paquet d’ondes et dispersion

Superposition de cos(kx − ωt) ; ω = ck + αk² ; étalement du paquet comparé à une onde sur une corde.

Graphiques

À propos du modèle

Un paquet d’ondes est une perturbation localisée, superposition d’harmoniques cos(kx − ωt) avec une enveloppe gaussienne en k. La dispersion est donnée par ω = ck + αk². Si α = 0, la vitesse de phase ω/k = c est la même pour tous les k : le paquet avance sans s’étaler, comme sur une corde idéale. Si α ≠ 0, les k n’ont plus la même vitesse, l’enveloppe s’étale. La vitesse de groupe v_g = dω/dk = c + 2αk transporte l’énergie du paquet ; la vitesse de phase v_p = ω/k est celle des crêtes. Milieu unidimensionnel, sans pertes.

Public : Licence, ondes : superposition, dispersion, vitesses de phase et de groupe.

Notions clés

paquet d’ondes
relation de dispersion
vitesse de phase
vitesse de groupe
superposition
dispersion

Comment ça marche

Le paquet est une somme de sinusoïdes de loi ω(k) = ck + αk². Si α = 0, l’enveloppe avance sans se déformer, comme sur une corde idéale. Si α ≠ 0, les composantes se déphasent — le paquet s’étale. À l’écran, le profil η(x,t) et la courbe ω(k). L’onde sur une corde à extrémité fixe est un autre problème : il y a une frontière et des réflexions.

Formules

η(x,t) = Σₙ Aₙ cos(kₙx − ω(kₙ)t), ω(k) = ck + αk²

v_p = ω/k, v_g = dω/dk = c + 2αk

Questions fréquentes

Pourquoi le paquet s’étale-t-il lorsque α ≠ 0 ?: Si α ≠ 0, chaque harmonique a sa propre vitesse de phase. À t = 0, les crêtes coïncident et forment une bosse ; ensuite les composantes rapides partent en avant, les lentes restent en arrière : l’enveloppe s’élargit, la hauteur diminue.
En quoi la vitesse de phase diffère-t-elle de la vitesse de groupe ?: La vitesse de phase v_p = ω/k est celle des crêtes d’une sinusoïde. La vitesse de groupe v_g = dω/dk est celle de l’enveloppe du paquet et du transport d’énergie. Dans un milieu dispersif, elles diffèrent. Le sommet de l’enveloppe gaussienne se déplace à v_g.
Pourquoi, sur une corde idéale, une impulsion ne s’étale-t-elle pas ?: L’équation d’onde ∂²Ψ/∂t² = c² ∂²Ψ/∂x² donne ω = ck : toutes les harmoniques vont à la même vitesse c. La forme de tout profil se conserve. C’est l’idéalisation d’une corde flexible homogène.

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