Pourquoi la fréquence croît-elle avec le rang du mode ?

Les modes élevés sont plus courts en longueur d’onde effective, et f ∝ 1/λ². La poutre doit se courber plus fortement, la force de rappel est plus grande — les oscillations sont plus rapides.

En quoi une vraie poutre diffère-t-elle de ce modèle ?

Il y a un amortissement interne. Pour les poutres épaisses, il faut le cisaillement et l’inertie de rotation (Timoshenko). Les grandes flèches donnent une non-linéarité géométrique, absente ici.

Pourquoi un ingénieur a-t-il besoin des modes de flexion ?

Pour ne pas tomber en résonance : si la fréquence de la charge (une machine, le vent, des pas) coïncide avec une fréquence propre, l’amplitude croît. On dimensionne ainsi poutres, ponts, ailes et MEMS.

Pourquoi la fréquence fondamentale d’une console est-elle plus basse que celle d’une poutre à deux encastrements ?

Deux encastrements rendent la rigidité de flexion plus grande que celle d’une console à extrémité libre. La fréquence croît comme √(rigidité/masse), donc f₁ de la poutre encastrée est plus élevée.

Analyse modale d’une poutre d’Euler–Bernoulli

Les trois premiers modes de flexion : valeurs propres λ issues des conditions aux limites ; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Appuis simples, console, encastrements.

À propos du modèle

L’analyse modale d’une poutre d’Euler–Bernoulli décrit les oscillations de flexion libres d’une poutre mince : elles obéissent à EI ∂⁴w/∂x⁴ + μ ∂²w/∂t² = 0, où EI est la rigidité de flexion, μ la masse linéique. Les solutions sont des modes propres : chaque déformée w_n(x) oscille à sa fréquence propre. Les conditions aux limites (appui simple–appui simple, console, encastrement–encastrement) fixent les λ_n admissibles ; la fréquence f_n ∝ (λ_n/L)² √(EI/μ). Pour une poutre sur appuis simples, λ_n = nπ et les déformées sont des sinus. Simplifications de la théorie : élasticité linéaire, petites flèches, ni cisaillement ni inertie de rotation (contrairement à Timoshenko), pas d’amortissement. À l’écran, l’axe non déformé et la déformée normalisée du mode choisi ; on fait varier L, EI, μ et le type d’appuis.

Public : Dynamique des structures et oscillations des milieux continus en licence : modes de flexion d’une poutre.

Notions clés

poutre d’Euler–Bernoulli
mode propre
conditions aux limites
fréquence propre
rigidité de flexion
analyse modale
console

Comment ça marche

La flexion d’une poutre d’Euler–Bernoulli donne un spectre discret : ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ), où λ_n vient des conditions aux limites (pour les appuis simples, λ_n = nπ). À l’écran, les trois premières déformées — appuis simples, console ou double encastrement. Plus la poutre est raide ou légère, plus les fréquences propres sont hautes.

Formules

EI w′′′′ + μ ω² w = 0 → w(x) ∝ sin(nπx/L) pour appui simple–appui simple ; λ_n issu d’équations transcendantes pour les autres extrémités.

ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ),   f_n = ω_n/(2π).

Questions fréquentes

Pourquoi la fréquence croît-elle avec le rang du mode ?: Les modes élevés sont plus courts en longueur d’onde effective, et f ∝ 1/λ². La poutre doit se courber plus fortement, la force de rappel est plus grande — les oscillations sont plus rapides.
En quoi une vraie poutre diffère-t-elle de ce modèle ?: Il y a un amortissement interne. Pour les poutres épaisses, il faut le cisaillement et l’inertie de rotation (Timoshenko). Les grandes flèches donnent une non-linéarité géométrique, absente ici.
Pourquoi un ingénieur a-t-il besoin des modes de flexion ?: Pour ne pas tomber en résonance : si la fréquence de la charge (une machine, le vent, des pas) coïncide avec une fréquence propre, l’amplitude croît. On dimensionne ainsi poutres, ponts, ailes et MEMS.
Pourquoi la fréquence fondamentale d’une console est-elle plus basse que celle d’une poutre à deux encastrements ?: Deux encastrements rendent la rigidité de flexion plus grande que celle d’une console à extrémité libre. La fréquence croît comme √(rigidité/masse), donc f₁ de la poutre encastrée est plus élevée.

Thèmes proches (y compris d’autres rubriques) — ou les 37 de «Ondes et son».

Toute la catégorie →

NouveauUniversité

Équation d’onde bidimensionnelle (membrane)

Lancer la simulation

Schéma explicite sur un rectangle à bord fixé : impulsion gaussienne, fronts circulaires, réflexions sur les bords.

PopulaireCollège–lycée

Onde sur une corde

Lancer la simulation

Onde transversale sur une corde : excitation d’une extrémité, réflexions et figures presque stationnaires près de la résonance.

NouveauCollège–lycée

Figures de Chladni

Lancer la simulation

Mode d’une plaque carrée sin(mπx/L)sin(nπy/L) ; le sable quitte les ventres et s’accumule sur les lignes nodales.

NouveauCollège–lycée

Tuyau d’orgue

Lancer la simulation

Ondes stationnaires dans une colonne d’air : tuyau ouvert f_n = n v/(2L) et fermé f_n = (2n−1) v/(4L) ; profil de pression et série harmonique.

NouveauUniversité

Flambage d’une colonne d’Euler

Lancer la simulation

Stabilité élastique d’une barre comprimée : P_cr = π²EI/(KL)². Conditions aux limites, coefficient de longueur de flambement K, premier mode et rapport P/P_cr.

NouveauCollège–lycée

Tube de résonance

Lancer la simulation

Ondes de pression stationnaires dans un tube ouvert ou fermé : fₙ = n v/(2L) ou (2n−1) v/(4L) — voie de laboratoire vers la vitesse du son.

Analyse modale d’une poutre d’Euler–Bernoulli

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Équation d’onde bidimensionnelle (membrane)

Onde sur une corde

Figures de Chladni

Tuyau d’orgue

Flambage d’une colonne d’Euler

Tube de résonance

Analyse modale d’une poutre d’Euler–Bernoulli

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes