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Accueil/Ondes et son/Oscillations d’une membrane circulaire

Oscillations d’une membrane circulaire

Modes propres d’un tambour : J_m(k_{mn} r) cos(mθ) ; diamètres nodaux m et anneaux n.

Mode

2
1
0.4

Membrane circulaire idéale : z ∝ J_m(k r) cos(mθ), kR fixé par les zéros de J_m — étoiles, anneaux et « toiles », comme le sel sur un tambour.

Mesures

α (zéro)5.1356
FormeJ_2(α r/R) cos(2θ)

À propos du modèle

Oscillations d’une membrane circulaire à bord fixe — tambour, membrane de haut-parleur : ondes stationnaires en coordonnées polaires. Le mode (m, n) s’écrit J_m(k_{mn} r) cos(mθ), où J_m est la fonction de Bessel de première espèce, m le nombre de diamètres nodaux et n le nombre de cercles nodaux à l’intérieur du bord. Le nombre d’onde k_{mn} vient de la condition J_m(k_{mn} a) = 0 au rayon a ; la fréquence f_{mn} est proportionnelle à k_{mn}. À l’écran : la hauteur de la membrane et les lignes nodales. La tension est uniforme ; la rigidité de flexion, la charge d’air et l’amortissement ne sont pas pris en compte.

Public : Licence, ondes et acoustique : oscillations propres d’une membrane circulaire, fonctions de Bessel.

Notions clés

  • membrane circulaire
  • fonction de Bessel
  • mode propre
  • ligne nodale
  • fréquence propre
  • onde stationnaire

Comment ça marche

Membrane circulaire à bord fixe : onde stationnaire J_m(k r) cos(mθ), kR pris parmi les zéros de la fonction de Bessel. Le nombre m fixe les diamètres nodaux, n les anneaux. À l’écran, la carte de déplacement : c’est le schéma d’un mode, non le calcul de la charge acoustique d’un tambour.

Questions fréquentes

Que signifient les nombres m et n sur un tambour ?
m est le nombre de diamètres nodaux (droites immobiles passant par le centre). n est le nombre de cercles nodaux concentriques à l’intérieur du bord fixe. Le mode (2, 1) donne deux diamètres et un anneau.
Pourquoi des fonctions de Bessel, et non des sinus ?
Les sinus résolvent le problème sur un rectangle ou sur une corde. Pour un disque, la partie radiale doit s’annuler sur le cercle r = a ; la solution est J_m(kr).
Peut-on voir ces lignes sur un vrai tambour ?
Oui : le sable sur la membrane se rassemble aux nœuds — la même idée que les figures de Chladni. Le timbre du tambour vient précisément de l’ensemble de ces modes et de leur amortissement.