Pourquoi, sur une corde fixée, seules les harmoniques sont-elles possibles ?

Il faut un nœud aux deux extrémités. Seules les longueurs d’onde λ = 2L/n satisfont cette condition, donc les fréquences sont discrètes : f_n = n v/(2L).

En quoi un nœud diffère-t-il d’un ventre ?

Le nœud est immobile : l’onde incidente et l’onde réfléchie s’annulent. Au ventre, le déplacement est maximal — les ondes s’ajoutent en phase.

Comment la tension change-t-elle la hauteur du son ?

Plus T est grand, plus v = √(T/μ) l’est, et plus f_n = n v/(2L) est élevée. Ainsi s’accorde une guitare : on tend davantage la corde — le son est plus aigu.

Dans quelle mesure cela ressemble-t-il à une guitare ou à un violon ?

La série harmonique f_n = n f_1 est la base des instruments à cordes. Les cordes réelles ont une raideur et une inhomogénéité, et la caisse apporte de l’amortissement et ses propres résonances — d’où un timbre que le modèle idéal n’a pas.

Ondes stationnaires

Ondes stationnaires sur une corde fixée : harmoniques, nœuds et ventres.

À propos du modèle

Les ondes stationnaires sur une corde se forment par superposition de deux ondes identiques qui se propagent en sens opposés. Pour une corde de longueur L, de masse linéique μ et de tension T, la vitesse est v = √(T/μ). Des extrémités fixes exigent un déplacement nul : seules λ_n = 2L/n et les fréquences d’harmoniques f_n = n v/(2L) = n f_1 sont admissibles. À l’écran, on voit les nœuds (déplacement nul) et les ventres (maximum). Modèle : corde flexible homogène, extrémités fixes, sans amortissement, ni raideur, ni non-linéarité.

Public : Terminale et L1 : harmoniques, nœuds et ventres sur une corde.

Notions clés

ondes stationnaires
harmonique
nœud
ventre
fréquence fondamentale
résonance
superposition d’ondes
condition aux limites

Comment ça marche

Onde stationnaire idéale sur une corde fixée aux deux extrémités : seules conviennent les harmoniques de longueurs d’onde λₙ = 2L/n. Les nœuds restent immobiles ; les ventres oscillent à amplitude maximale. Changer n change le nombre de fuseaux.

Formules

y = A sin(nπx/L) cos(ωₙt), ωₙ = nπc/L

Nœuds : x = mL/n (m = 0,…,n). Ventres : x = (m+½)L/n (m = 0,…,n−1).

Questions fréquentes

Pourquoi, sur une corde fixée, seules les harmoniques sont-elles possibles ?: Il faut un nœud aux deux extrémités. Seules les longueurs d’onde λ = 2L/n satisfont cette condition, donc les fréquences sont discrètes : f_n = n v/(2L).
En quoi un nœud diffère-t-il d’un ventre ?: Le nœud est immobile : l’onde incidente et l’onde réfléchie s’annulent. Au ventre, le déplacement est maximal — les ondes s’ajoutent en phase.
Comment la tension change-t-elle la hauteur du son ?: Plus T est grand, plus v = √(T/μ) l’est, et plus f_n = n v/(2L) est élevée. Ainsi s’accorde une guitare : on tend davantage la corde — le son est plus aigu.
Dans quelle mesure cela ressemble-t-il à une guitare ou à un violon ?: La série harmonique f_n = n f_1 est la base des instruments à cordes. Les cordes réelles ont une raideur et une inhomogénéité, et la caisse apporte de l’amortissement et ses propres résonances — d’où un timbre que le modèle idéal n’a pas.

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