Pourquoi la célérité en eau peu profonde ne dépend-elle pas de la longueur d’onde ?

Dans la limite d’eau peu profonde, le mouvement vertical est contraint par le fond. La force de rappel de la pesanteur, pour les longues vagues, ne dépend plus de λ : le système n’est plus dispersif, toutes ces vagues ont la même célérité de phase c = √(gh). C’est pourquoi un tsunami en haute mer (déjà une onde d’eau peu profonde) va loin sans beaucoup s’étaler.

Quand faut-il la relation complète plutôt que les limites d’eau profonde et d’eau peu profonde ?

La relation complète ω² = gk tanh(kh) est nécessaire aux profondeurs intermédiaires, quand h est comparable à la longueur d’onde : plateau, zone côtière. La courbe relie alors progressivement les asymptotes d’eau profonde et d’eau peu profonde.

Comment lire la célérité de groupe sur le graphe ω(k) ?

La célérité de groupe est la pente : c_g = dω/dk. En eau profonde, c_g = c_p/2. En eau peu profonde, ω est linéaire, la pente est constante, donc c_g = c_p = √(gh). Sur la courbe complète, la pente varie avec kh.

Le modèle convient-il aux ridules et aux vagues capillaires ?

Non : la tension superficielle n’est pas prise en compte, or pour les courtes vagues (en général plus courtes que quelques centimètres) elle domine. Pour les vagues capillaires, la dispersion contient un terme ~k³. Ici seulement des vagues de gravité — houle, tsunami, vague ordinaire.

Dispersion des vagues ω(k)

Vagues de gravité : limites d’eau peu profonde ω = k√(gh), d’eau profonde ω = √(gk) et relation complète ω² = gk tanh(kh).

À propos du modèle

La dispersion des vagues ω(k) est le lien entre la célérité de phase et la longueur d’onde. Pour les vagues de gravité de surface, la théorie linéaire donne ω² = gk tanh(kh), où g est l’accélération de la pesanteur, h la profondeur et k le nombre d’onde. En eau profonde (kh ≫ 1), tanh(kh) → 1 et ω² = gk : les longues vagues vont plus vite que les courtes. En eau peu profonde (kh ≪ 1), tanh(kh) ≈ kh, d’où ω = k√(gh) : toutes les longues vagues ont la même célérité √(gh), il n’y a pas de dispersion. Sur le graphe ω(k), trois courbes — la solution complète et les deux limites asymptotiques ; on peut changer la profondeur et voir la courbe complète passer d’une limite à l’autre. Hypothèses : fluide parfait non visqueux, vagues de petite amplitude, fond plat, pas de tension superficielle.

Public : Hydrodynamique et mécanique des vagues de L1 : dispersion, célérités de phase et de groupe.

Notions clés

relation de dispersion
pulsation
nombre d’onde
célérité de phase
célérité de groupe
approximation d’eau peu profonde
vagues en eau profonde
tangente hyperbolique

Comment ça marche

La dispersion relie la pulsation ω au nombre d’onde k. En eau peu profonde (λ ≫ h), ω ≈ k√(gh) — linéaire en k, célérité de phase √(gh) presque sans dispersion. En eau profonde (λ ≪ h), ω ≈ √(gk) — loi dispersive. La courbe complète ω² = g k tanh(kh) a ces deux limites comme asymptotes aux petits et grands kh.

Formules

ω² = g k tanh(kh) → profond : tanh→1 · peu profond : tanh→kh

Questions fréquentes

Pourquoi la célérité en eau peu profonde ne dépend-elle pas de la longueur d’onde ?: Dans la limite d’eau peu profonde, le mouvement vertical est contraint par le fond. La force de rappel de la pesanteur, pour les longues vagues, ne dépend plus de λ : le système n’est plus dispersif, toutes ces vagues ont la même célérité de phase c = √(gh). C’est pourquoi un tsunami en haute mer (déjà une onde d’eau peu profonde) va loin sans beaucoup s’étaler.
Quand faut-il la relation complète plutôt que les limites d’eau profonde et d’eau peu profonde ?: La relation complète ω² = gk tanh(kh) est nécessaire aux profondeurs intermédiaires, quand h est comparable à la longueur d’onde : plateau, zone côtière. La courbe relie alors progressivement les asymptotes d’eau profonde et d’eau peu profonde.
Comment lire la célérité de groupe sur le graphe ω(k) ?: La célérité de groupe est la pente : c_g = dω/dk. En eau profonde, c_g = c_p/2. En eau peu profonde, ω est linéaire, la pente est constante, donc c_g = c_p = √(gh). Sur la courbe complète, la pente varie avec kh.
Le modèle convient-il aux ridules et aux vagues capillaires ?: Non : la tension superficielle n’est pas prise en compte, or pour les courtes vagues (en général plus courtes que quelques centimètres) elle domine. Pour les vagues capillaires, la dispersion contient un terme ~k³. Ici seulement des vagues de gravité — houle, tsunami, vague ordinaire.

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