Гравитация и орбиты
Орбитальная механика, Солнечная система, приливные силы и задача N тел
Schwarzschild Orbit Precession (Rosette)
Schwarzschild geodesic in the φ-form d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u² (G = c = M = 1) integrated by RK4. The closed Newtonian ellipse is replaced by an orange precessing rosette with apsidal advance Δφ ≈ 6πM/[a(1 − e²)] per orbit — the same mechanism that produces the historic 43″/century perihelion shift of Mercury. Horizon r = 2M and ISCO r = 6M annotated.
ISCO & Photon Sphere (V_eff)
Schwarzschild effective potential V_eff(r) for massive (timelike) and photon (null) test particles in geometric units. Sliding angular momentum L collapses the stable / unstable circular pair into the innermost stable circular orbit r_ISCO = 6M (the inner edge of accretion discs); for photons the unstable photon sphere r = 3M defines the inner ring of black-hole shadow images.
Einstein Ring & Paczyński Microlensing
Point-mass thin lens (weak-field GR): lens equation β = θ − θ_E²/θ gives two images θ_± = ½(β ± √(β² + 4θ_E²)) with magnifications μ_± = ½[(u² + 2)/(u√(u² + 4)) ± 1], u = β/θ_E. Animated source transit at impact parameter u₀ over timescale t_E renders the canonical symmetric Paczyński light curve and the full Einstein ring θ_E = √(4GM·D_LS/(c² D_L D_S)) at perfect alignment.
Gravitational Wave Binary Chirp (Inspiral)
Leading-order post-Newtonian inspiral of a compact binary: f(τ) ∝ τ^(−3/8), strain h(t) ∝ M_c^(5/3) f^(2/3) / D_L. Tune component masses m₁, m₂ and luminosity distance D_L; live h(t) and f(t) traces with the orbiting bodies on the side. The chirp mass M_c = (m₁m₂)^(3/5)/(m₁+m₂)^(1/5) is the very quantity LIGO/Virgo measures from the early inspiral; the frequency freezes at the Schwarzschild ISCO.
Shapiro Time Delay (4th GR Test)
A radio signal grazing the Sun picks up an excess one-way travel time Δt ≈ (2GM/c³) ln[(r_E + r_E cos α)(r_R + r_R cos β)/b²] on top of the Newtonian light-time. Cassini, Mariner and Viking presets, with the round-trip delay readout in microseconds and an animated bent-photon path against a straight Newtonian baseline. The Cassini 2003 conjunction constrains |γ_PPN − 1| < 2 × 10⁻⁵ — the strongest weak-field GR test to date.
Восьмёрка в задаче трёх тел
Равные массы: хореография Ченсинера–Монтгомери в 2D (РК4, периодическая орбита).
Ограниченная задача трёх тел (карта)
Круговая ограниченная задача трёх тел: критерии ухода, столкновения и индикатор хаоса; ползунок μ.
Многоступенчатая ракета (Циолковский)
Δv на ступень; сравнение суммы приращений с одноступенчатой ракетой при одинаковой общей массе топлива.
Орбитальный мусор и синдром Кесслера (упрощённая модель)
Оболочка НОО: n = N/V, частота столкновений ∝ N²; опциональное каскадное фрагментирование.
Гравитационный манёвр (Облёт с ускорением)
Система отсчёта планеты |u_вых| = |u_вх|, повёрнутый на δ; система отсчёта звезды v = V + u — изменение Δ|v| от движущейся планеты.
Симулятор орбит
Запускайте спутники. Достигайте круговых, эллиптических орбит или скорости убегания.
Солнечная система
Интерактивная масштабированная модель с элементами управления временем и данными об орбитах.
Гравитационная песочница
Размещайте массы и наблюдайте за гравитационным взаимодействием N тел.
Законы Кеплера
Эллиптические орбиты с наглядным равенством площадей (второй закон).
Вторая космическая скорость
Запускайте снаряд с разных планет и наблюдайте за результатами траектории.
Гравитационное линзирование
Массивные объекты искривляют свет. Эффекты визуального искажения.
Точки Лагранжа L1–L5
Эффективный потенциал в ООТТ; L1–L5; пробная частица в поле силы Кориолиса.
Земля–Луна: Приливы
Равновесные приливные горбы; орбитальная скорость; примечание о промежутке ~12,4 ч.
Двойная звезда (круговая орбита)
Орбиты вокруг ЦМ; r₁, r₂; закон Кеплера T² ∝ a³/(M₁+M₂).
Предел Роша
Для жидкости d ≈ 2,456 R_p (ρ_p/ρ_s)^(1/3); в зависимости от расстояния до орбиты.
Трос космического лифта
Одномерный профиль натяжения в зависимости от высоты; максимум вблизи геостационарной орбиты (нормированная модель).
Переход Гомана
Компланарные окружности r₁, r₂; переходный эллипс; Δv₁, Δv₂ из уравнения вива.
Геостационарная орбита
ω²r = GM/r²; звёздные vs солнечные сутки; вид в системе, вращающейся с Землёй.
Деградация орбиты (атмосфера)
Учебное трение у перигея: эллипс сжимается и скругляется; порядок величин для МКС.
Прецессия перигелия Меркурия
Поправка ОТО Δω за оборот против Ньютона; ~43″/век; усиленная анимация.
Барицентр Земля–Луна
Путь центра Земли вокруг Солнца: барицентрический эллипс + лунный эпицикл (преувеличено).
Эффект Оберта
Один и тот же проградный прирост скорости Δv в перицентре и апоцентре одной эллиптической орбиты приводит к большему изменению удельной орбитальной энергии ε при сгорании в глубоком гравитационном колодце.