Почему планета быстрее в перигелии, чем в афелии?

Второй закон Кеплера: за одно и то же время заметается одна и та же площадь. Ближе к Солнцу радиус-вектор короче, поэтому за тот же интервал тело проходит большую дугу — скорость больше. Это то же, что сохранение момента импульса в центральном поле.

Почему третий закон связывает именно T² и a³?

Для круговой орбиты в поле ∝ 1/r² из равенства тяготения и центростремительной силы получается ω²r³ = GM; с ω = 2π/T это даёт T² ∝ r³. Для эллипса в задаче двух тел роль расстояния играет большая полуось a.

Выполняются ли законы Кеплера для спутников Земли?

Да, как хорошее приближение: центральная масса — Земля, T² = (4π²/GM) a³. Нужно учесть возмущения, сжатие Земли и сопротивление атмосферы на низкой орбите; для учебной оценки третьего закона этого достаточно.

Орбиты планет — идеальные эллипсы?

На коротких временах — почти да. Другие планеты медленно поворачивают перигелий и чуть искажают эллипс. У Меркурия есть ещё вклад общей теории относительности — около 43″ за век после вычета ньютоновских возмущений.

Законы Кеплера

Эллиптические орбиты и равенство заметаемых площадей (второй закон).

О модели

Законы Кеплера описывают движение планет вокруг Солнца в задаче двух тел. Первый: орбита — эллипс, Солнце в одном из фокусов. Второй (закон площадей): радиус-вектор за равные промежутки времени заметает равные площади — это сохранение момента импульса. Третий: квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей, T² ∝ a³, для одной и той же центральной массы. Ньютон показал, что всё это следует из F = GMm/r². На странице можно менять большую полуось, эксцентриситет и массу центра и сверять период, скорость в перигелии и афелии. Нет возмущений от других планет и релятивистской прецессии перигелия Меркурия.

Для кого: Школьная астрономия и механика после закона всемирного тяготения; рядом со страницами «Движение по орбите» и «Переход Гомана».

Ключевые понятия

законы Кеплера
эллиптическая орбита
закон площадей
большая полуось
период обращения
эксцентриситет
задача двух тел
третий закон Кеплера

Как это работает

Кеплер I: связанные орбиты являются эллипсами с центральной массой в одном из фокусов. Кеплер II: радиус-вектор заметает равные площади за равные времена — здесь цветные секторы соответствуют равным Δt и должны иметь почти равную площадь (показан численный разброс). Кеплер III: для этой модели двух тел T² ∝ a³ при постоянном GM; изменяйте a и GM и наблюдайте, как T²/a³ следует обратному масштабированию GM.

Основные формулы

M = E − e sin E → планета (a(cos E − e), b sin E)

T = 2π √(a³ / GM), n = 2π / T

dA/dt = L / (2m) = const.

Часто задаваемые вопросы

Почему планета быстрее в перигелии, чем в афелии?: Второй закон Кеплера: за одно и то же время заметается одна и та же площадь. Ближе к Солнцу радиус-вектор короче, поэтому за тот же интервал тело проходит большую дугу — скорость больше. Это то же, что сохранение момента импульса в центральном поле.
Почему третий закон связывает именно T² и a³?: Для круговой орбиты в поле ∝ 1/r² из равенства тяготения и центростремительной силы получается ω²r³ = GM; с ω = 2π/T это даёт T² ∝ r³. Для эллипса в задаче двух тел роль расстояния играет большая полуось a.
Выполняются ли законы Кеплера для спутников Земли?: Да, как хорошее приближение: центральная масса — Земля, T² = (4π²/GM) a³. Нужно учесть возмущения, сжатие Земли и сопротивление атмосферы на низкой орбите; для учебной оценки третьего закона этого достаточно.
Орбиты планет — идеальные эллипсы?: На коротких временах — почти да. Другие планеты медленно поворачивают перигелий и чуть искажают эллипс. У Меркурия есть ещё вклад общей теории относительности — около 43″ за век после вычета ньютоновских возмущений.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 27 в «Гравитация и орбиты».

Вся категория →

Школьные