Почему третий закон связывает именно T² и a³?

Для круговой орбиты в поле ∝ 1/r² из баланса центростремительной силы и тяготения получается ω²r³ = GM; с ω = 2π/T это даёт T² ∝ r³. Для эллипса в двухтелевой задаче роль «расстояния» играет большая полуось a.

Выполняются ли законы Кеплера для спутников вокруг Земли?

Как хорошее приближение — да, если пренебречь возмущениями и сжать систему к «Земля + спутник». Масса в формуле должна быть массой центрального тела; для искусственных спутников учитывают также низкую орбиту и трение.

Законы Кеплера

Эллиптические орбиты с наглядным равенством площадей (второй закон).

О модели

Три закона Кеплера описывают движение планет вокруг Солнца в рамках двухтелевой задачи: орбиты — эллипсы с Солнцем в одном из фокусов; радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади (сохранение углового момента); квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей: T² ∝ a³ для одной и той же центральной массы. Симулятор даёт наглядную опору к этим формулам: можно сравнивать разные полуоси и периоды, смотреть на эллиптичность и скорость на орбите. Модель не заменяет полный учёт возмущений от других планет и релятивистских поправок для меркурианской прецессии.

Для кого: Курс небесной механики и гравитации после введения в закон всемирного тяготения; дополняет страницы орбитального симулятора и перелёта по Хоману.

Ключевые понятия

Законы Кеплера
Эллиптическая орбита
Большая полуось
Период обращения
Третий закон Кеплера
Закон площадей

Как это работает

Кеплер I: связанные орбиты являются эллипсами с центральной массой в одном из фокусов. Кеплер II: радиус-вектор заметает равные площади за равные времена — здесь цветные секторы соответствуют равным Δt и должны иметь почти равную площадь (показан численный разброс). Кеплер III: для этой модели двух тел T² ∝ a³ при постоянном GM; изменяйте a и GM и наблюдайте, как T²/a³ следует обратному масштабированию GM.

Основные формулы

M = E − e sin E → планета (a(cos E − e), b sin E)

T = 2π √(a³ / GM), n = 2π / T

dA/dt = L / (2m) = const.

Часто задаваемые вопросы

Почему третий закон связывает именно T² и a³?: Для круговой орбиты в поле ∝ 1/r² из баланса центростремительной силы и тяготения получается ω²r³ = GM; с ω = 2π/T это даёт T² ∝ r³. Для эллипса в двухтелевой задаче роль «расстояния» играет большая полуось a.
Выполняются ли законы Кеплера для спутников вокруг Земли?: Как хорошее приближение — да, если пренебречь возмущениями и сжать систему к «Земля + спутник». Масса в формуле должна быть массой центрального тела; для искусственных спутников учитывают также низкую орбиту и трение.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 27 в «Гравитация и орбиты».

Вся категория →

Школьные

Солнечная система

Запустить симулятор

Интерактивная масштабированная модель с элементами управления временем и данными об орбитах.

НовоеШкольные

Двойная звезда (круговая орбита)

Запустить симулятор

Орбиты вокруг ЦМ; r₁, r₂; закон Кеплера T² ∝ a³/(M₁+M₂).

НовоеШкольные

Переход Гомана

Запустить симулятор

Компланарные окружности r₁, r₂; переходный эллипс; Δv₁, Δv₂ из уравнения вива.

НовоеУниверситет / научные

Эффект Оберта

Запустить симулятор

Один и тот же проградный прирост скорости Δv в перицентре и апоцентре одной эллиптической орбиты приводит к большему изменению удельной орбитальной энергии ε при сгорании в глубоком гравитационном колодце.

НовоеШкольные

Деградация орбиты (атмосфера)

Запустить симулятор

Учебное трение у перигея: эллипс сжимается и скругляется; порядок величин для МКС.

ПопулярноеШкольные

Симулятор орбит

Запустить симулятор

Фиксированная центральная масса: скорость и угол запуска для круга, эллипса или ухода.

Законы Кеплера

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Солнечная система

Двойная звезда (круговая орбита)

Переход Гомана

Эффект Оберта

Деградация орбиты (атмосфера)

Симулятор орбит

Законы Кеплера

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы