Почему эллипс не замыкается?

Член 3u² в уравнении орбиты — поправка ОТО, которой нет у ньютоновского потенциала 1/r. Он сдвигает перицентр каждый радиальный период, и вершина эллипса поворачивается, рисуя розетку. Это кривизна пространства-времени, а не «лишняя» сила ∝ 1/r³ в плоском пространстве — хотя в уравнении u(φ) запись похожа.

Как это связано с 43″ за век у Меркурия?

В слабом поле Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] за оборот; накопленное за век для a и e Меркурия даёт около 43 угловых секунд после вычета ньютоновских возмущений. Здесь — сильнополевая версия того же механизма в геометрических единицах.

Что отмечают r = 2M и r = 6M?

r = 2M — горизонт событий Шварцшильда; устойчивых круговых времениподобных орбит до горизонта нет. Внутренняя устойчивая круговая орбита для невращающейся дыры — при r = 6M; внутри круговые орбиты неустойчивы.

Прецессия перигелия Шварцшильда

Геодезическая в метрике Шварцшильда: d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u². Смещение перигелия Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] за оборот — тот же эффект, что 43″/век у Меркурия.

О модели

Прецессия перигелия Шварцшильда: пробная частица движется по геодезической в метрике Шварцшильда. Уравнение орбиты в φ-форме d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u² (G = c = M = 1, u = 1/r) интегрируется методом Рунге–Кутты 4-го порядка. Ньютоновский замкнутый эллипс сменяется прецессирующей розеткой; смещение перицентра за оборот Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] — тот же эффект ОТО, что даёт 43″ за век у перигелия Меркурия. Отмечены горизонт r = 2M и внутренняя устойчивая орбита r = 6M. Допущения: геодезическое движение пробной массы, пространство-время без вращения, геометрические единицы, без реакции излучения.

Для кого: Вузовская ОТО и релятивистская астрофизика: прецессия перигелия, метрика Шварцшильда.

Ключевые понятия

прецессия перигелия
метрика Шварцшильда
розеточная орбита
геодезическая
смещение апсид
горизонт событий
внутренняя устойчивая орбита

Как это работает

В метрике Шварцшильда орбита пробной частицы подчиняется d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u², u = 1/r (G = c = M = 1). Член 3u² даёт смещение перигелия Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] за радиальный период: эллипс не замыкается и рисует розетку. На экране — траектория, горизонт r = 2M и ISCO r = 6M.

Часто задаваемые вопросы

Почему эллипс не замыкается?: Член 3u² в уравнении орбиты — поправка ОТО, которой нет у ньютоновского потенциала 1/r. Он сдвигает перицентр каждый радиальный период, и вершина эллипса поворачивается, рисуя розетку. Это кривизна пространства-времени, а не «лишняя» сила ∝ 1/r³ в плоском пространстве — хотя в уравнении u(φ) запись похожа.
Как это связано с 43″ за век у Меркурия?: В слабом поле Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] за оборот; накопленное за век для a и e Меркурия даёт около 43 угловых секунд после вычета ньютоновских возмущений. Здесь — сильнополевая версия того же механизма в геометрических единицах.
Что отмечают r = 2M и r = 6M?: r = 2M — горизонт событий Шварцшильда; устойчивых круговых времениподобных орбит до горизонта нет. Внутренняя устойчивая круговая орбита для невращающейся дыры — при r = 6M; внутри круговые орбиты неустойчивы.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 27 в «Гравитация и орбиты».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Прецессия перигелия Меркурия

Запустить симулятор

Поправка ОТО даёт поворот перигелия Δω за оборот; для Меркурия избыток около 43″ за век. Анимация усилена, числа — по физической формуле.

НовоеУниверситет / научные

Гравитационные волны: чирп двойной системы

Запустить симулятор

Сближение компактной двойной на ведущем постньютоновском порядке: частота f(τ) ∝ τ^(−3/8), деформация h(t) ∝ M_c^(5/3) f^(2/3) / D_L. Задаются массы компонентов и светимостное расстояние; частота обрывается на внутренней устойчивой орбите Шварцшильда.

НовоеУниверситет / научные