Когда орбита круговая?

При данном радиусе чисто касательная скорость v_круг = √(GM/r) уравнивает тяготение и центростремительное требование, эксцентриситет ≈ 0. Меньшая скорость или радиальная составляющая дают эллипс (он может врезаться в центральное тело). При |v| ≥ v_∞ = √2 v_круг удельная энергия неотрицательна — траектория несвязанная.

Это полная задача двух тел?

Нет. Центральная масса закреплена — обычное приближение, когда одно тело много тяжелее. Движение обоих тел вокруг общего центра масс не моделируется.

Что означают E и e?

Удельная механическая энергия E = ½v² − GM/r отрицательна для связанных эллипсов и неотрицательна при уходе. Эксцентриситет e из вектора Лапласа–Рунге–Ленца: e ≈ 0 — окружность, 0 < e < 1 — эллипс, e ≥ 1 — несвязанная коника.

Движение по орбите

Неподвижная центральная масса: скорость и угол запуска — круговая, эллиптическая орбита или уход.

О модели

Движение по орбите в учебном приближении: пробная частица без массы движется в поле неподвижной центральной массы (F ∝ 1/r², первичное тело не смещается). Запуск с радиуса r₀ со скоростью k·√(GM/r₀) и выбранным углом; 90° — чисто касательный старт. Круговая орбита при k = 1 и касательном направлении; связанные эллипсы при удельной энергии E < 0; уход при E ≥ 0 (примерно |v| ≥ √2 v_круг — вторая космическая на этом радиусе). На экране — E, эксцентриситет e и тип орбиты. Траектория обрывается на радиусе центрального тела, масштаб подстраивается сам.

Для кого: Механика и астрономия: орбитальная энергия, эксцентриситет, первая и вторая космические скорости.

Ключевые понятия

движение по орбите
задача Кеплера
эксцентриситет
вторая космическая скорость
удельная энергия
круговая орбита
неподвижная центральная масса
эллиптическая орбита

Как это работает

Безмассовая пробная частица в фиксированном центральном поле точечной массы (ограниченная задача Кеплера — первичное тело неподвижно). Ускорение a = −GM/r² к центру. Запуск из (r₀, 0) со скоростью |v| = k √(GM/r₀) и выбранным углом: 90° — тангенциально, при k = 1 — круговая орбита; меньшее k — эллипсы (возможен удар о центр); k ≥ √2 — уход при E ≥ 0. На экране — E, эксцентриситет e и тип орбиты. Интегрирование — Верле; автомасштаб следа.

Основные формулы

a = −GM/r² · r̂ (фикс. центр. масса)

v_круг = √(GM/r), v_убег = √2 v_круг

E = ½v² − GM/r · e из вектора Лапласа–Рунге–Ленца

Часто задаваемые вопросы

Когда орбита круговая?: При данном радиусе чисто касательная скорость v_круг = √(GM/r) уравнивает тяготение и центростремительное требование, эксцентриситет ≈ 0. Меньшая скорость или радиальная составляющая дают эллипс (он может врезаться в центральное тело). При |v| ≥ v_∞ = √2 v_круг удельная энергия неотрицательна — траектория несвязанная.
Это полная задача двух тел?: Нет. Центральная масса закреплена — обычное приближение, когда одно тело много тяжелее. Движение обоих тел вокруг общего центра масс не моделируется.
Что означают E и e?: Удельная механическая энергия E = ½v² − GM/r отрицательна для связанных эллипсов и неотрицательна при уходе. Эксцентриситет e из вектора Лапласа–Рунге–Ленца: e ≈ 0 — окружность, 0 < e < 1 — эллипс, e ≥ 1 — несвязанная коника.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 27 в «Гравитация и орбиты».

Вся категория →

Школьные