Что делает параметр релаксации ω?

ω масштабирует поправку Ньютона. При ω = 1 это классический метод Ньютона; при ω ≠ 1 шаг релаксированный. Изменение ω меняет скорость сходимости и может перестраивать границы бассейнов, иногда создавая или уничтожая притягивающие циклы.

Почему границы такие изрезанные?

Вблизи границ бассейнов крошечное изменение начального приближения уводит орбиту к другому корню. Эта чувствительность порождает самоподобные фрактальные разделители, а не гладкие ячейки Вороного.

Сходится ли каждая начальная точка к корню?

Не обязательно. Некоторые точки расходятся, блуждают или попадают в притягивающие циклы, не являющиеся корнями, особенно при изменённом ω. Цветные бассейны отмечают успешное притяжение к корням n-й степени из единицы в пределах лимита итераций.

Фрактал Ньютона

Бассейны притяжения итераций метода Ньютона для zⁿ − 1 с параметром релаксации ω.

О модели

Метод Ньютона для корней комплексного многочлена итерирует z_{n+1} = z_n − ω f(z_n)/f'(z_n). Для f(z) = zⁿ − 1 корни — корни n-й степени из единицы; каждый притягивает свой бассейн начальных точек, а границы бассейнов образуют фрактальные множества, родственные множествам Жюлиа. Пиксель окрашивается по тому, к какому корню сошлась итерация, и часто по скорости сходимости. Параметр релаксации ω масштабирует классический шаг (ω = 1); при ω ≠ 1 границы перестраиваются, иногда появляются притягивающие циклы, не являющиеся корнями. Семейство — только zⁿ − 1; арифметика конечной точности, без защиты от таких циклов.

Для кого: Численные методы и комплексная динамика: метод Ньютона, бассейны притяжения.

Ключевые понятия

фрактал Ньютона
метод Ньютона
бассейн притяжения
корни из единицы
параметр релаксации
комплексная итерация

Как это работает

Метод Ньютона для f(z)=zⁿ−1 итерирует z_{n+1}=z_n−ω f(z_n)/f'(z_n). Корни — корни n-й степени из единицы; цвет пикселя показывает, в какой бассейн попало начальное приближение. При ω=1 это классический метод Ньютона; релаксация ω≠1 перестраивает границы и может порождать циклы, не являющиеся корнями. Границы бассейнов фрактальны: близкие старты уходят к разным корням.

Основные формулы

zₙ₊₁ = zₙ − ω · p(zₙ) / p′(zₙ)

p(z) = zⁿ − 1, p′(z) = n z^{n−1}

roots: ζₖ = exp(2πi k / n), k = 0…n−1

Часто задаваемые вопросы

Что делает параметр релаксации ω?: ω масштабирует поправку Ньютона. При ω = 1 это классический метод Ньютона; при ω ≠ 1 шаг релаксированный. Изменение ω меняет скорость сходимости и может перестраивать границы бассейнов, иногда создавая или уничтожая притягивающие циклы.
Почему границы такие изрезанные?: Вблизи границ бассейнов крошечное изменение начального приближения уводит орбиту к другому корню. Эта чувствительность порождает самоподобные фрактальные разделители, а не гладкие ячейки Вороного.
Сходится ли каждая начальная точка к корню?: Не обязательно. Некоторые точки расходятся, блуждают или попадают в притягивающие циклы, не являющиеся корнями, особенно при изменённом ω. Цветные бассейны отмечают успешное притяжение к корням n-й степени из единицы в пределах лимита итераций.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Бассейны Ньютона–Рафсона

Запустить симулятор

Карта бассейнов метода Ньютона–Рафсона для системы F(x, y) = 0: зависимость от начального приближения, число итераций, притяжение к корням и срывы при вырожденном якобиане.

НовоеШкольные

Метод Ньютона (1D)

Запустить симулятор

График f(x), клик задаёт x₀, итерации x − f/f′ (производная численно); панорама и заготовки. Бассейны на ℂ — отдельный опыт «фрактал Ньютона».

НовоеУниверситет / научные

Множество Мандельброта

Запустить симулятор

Глубокое увеличение множества Мандельброта: перетаскивание и колесо мыши, непрерывная раскраска и именные ориентиры.

НовоеШкольные

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

Запустить симулятор

Множество Мандельброта, множество Жюлиа и снежинка Коха. Итерации z ← z² + c, масштаб колёсиком.

НовоеУниверситет / научные

Вейвлет Морле

Запустить симулятор

Непрерывное вейвлет-преобразование с комплексным вейвлетом Морле: скейлограмма |W(s,t)|, логарифмическая ось частоты, конус влияния, ω₀ и диапазон масштабов.

НовоеДети

Хаос-игра (треугольник Серпинского)

Запустить симулятор

Случайный выбор вершины треугольника и шаг в середину отрезка: облако точек сходится к салфетке Серпинского. Цвет по выбранной вершине показывает три самоподобные части.

Фрактал Ньютона

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Бассейны Ньютона–Рафсона

Метод Ньютона (1D)

Множество Мандельброта

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

Вейвлет Морле

Хаос-игра (треугольник Серпинского)

Фрактал Ньютона

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы