Почему цвета зависят от числа итераций?

Пиксели, чья орбита убегает раньше, окрашиваются иначе, чем те, что дольше остаются у множества. Гладкая раскраска интерполирует радиус убегания и уменьшает полосы от целых счётчиков итераций.

Открывает ли бесконечное увеличение всё новую структуру?

Локально множество самоподобно: крошечные копии множества Мандельброта и нитевидные украшения повторяются на всех масштабах. На практике точность с плавающей точкой и лимит итераций рано или поздно останавливают наивный расчёт.

Является ли чёрная внутренность точно множеством Мандельброта?

На практике чёрным отмечены точки, не убежавшие за отведённое число итераций. Некоторые очень медленно убегающие внешние точки могут быть ошибочно классифицированы, пока не увеличат лимит.

Множество Мандельброта

Глубокое увеличение множества Мандельброта: перетаскивание и колесо мыши, непрерывная раскраска и именные ориентиры.

О модели

Множество Мандельброта — множество комплексных параметров c, для которых итерация z_{n+1} = z_n² + c при z₀ = 0 остаётся ограниченной. Карта строится по времени убегания: пиксель окрашивается по числу итераций до выхода за радиус убегания, с дробным сглаживанием, чтобы не было полос от целого счётчика. Перетаскивание и колесо мыши меняют прямоугольник обзора; есть ориентиры к известным миниатюрным копиям множества и нитям. Модель — классическое квадратичное отображение, не семейство высших степеней и не множество Жюлиа; конечный предел итераций лишь приближает истинное множество. На малых масштабах видно самоподобие; точность вещественной арифметики и лимит итераций рано или поздно ограничивают наивный расчёт.

Для кого: Комплексная динамика и компьютерная графика: итерации z² + c, фракталы.

Ключевые понятия

множество Мандельброта
время убегания
комплексная итерация
фрактал
непрерывная раскраска
квадратичное отображение

Как это работает

Множество Мандельброта — те c, для которых орбита z_{n+1}=z_n²+c, z₀=0, остаётся ограниченной. Каждый пиксель комплексной плоскости — своё c; цвет задаёт время убегания (число итераций до |z|>R) с дробным сглаживанием. Чёрные области — точки, не убежавшие за отведённый лимит. Перетаскивание и колесо меняют окно обзора; на глубоком увеличении видны миниатюрные копии множества и нити.

Основные формулы

zₙ₊₁ = zₙ² + c, z₀ = 0

M = { c ∈ ℂ : supₙ |zₙ| < ∞ }

μ = n + 1 − log₂ log₂ |zₙ| (smooth iter)

Часто задаваемые вопросы

Почему цвета зависят от числа итераций?: Пиксели, чья орбита убегает раньше, окрашиваются иначе, чем те, что дольше остаются у множества. Гладкая раскраска интерполирует радиус убегания и уменьшает полосы от целых счётчиков итераций.
Открывает ли бесконечное увеличение всё новую структуру?: Локально множество самоподобно: крошечные копии множества Мандельброта и нитевидные украшения повторяются на всех масштабах. На практике точность с плавающей точкой и лимит итераций рано или поздно останавливают наивный расчёт.
Является ли чёрная внутренность точно множеством Мандельброта?: На практике чёрным отмечены точки, не убежавшие за отведённое число итераций. Некоторые очень медленно убегающие внешние точки могут быть ошибочно классифицированы, пока не увеличат лимит.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеШкольные

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

Запустить симулятор

Множество Мандельброта, множество Жюлиа и снежинка Коха. Итерации z ← z² + c, масштаб колёсиком.

НовоеУниверситет / научные

Множество Жюлиа

Запустить симулятор

Параметр c с миниатюрного множества Мандельброта или анимация по окружности; пыль Фату против связных множеств.

НовоеУниверситет / научные

Фрактал Ньютона

Запустить симулятор

Бассейны притяжения итераций метода Ньютона для zⁿ − 1 с параметром релаксации ω.

НовоеУниверситет / научные

Вейвлет Морле

Запустить симулятор

Непрерывное вейвлет-преобразование с комплексным вейвлетом Морле: скейлограмма |W(s,t)|, логарифмическая ось частоты, конус влияния, ω₀ и диапазон масштабов.

НовоеШкольные

DBSCAN: плотностная кластеризация

Запустить симулятор

Радиус ε и порог minPts: ядро, граница и шум. Кластеры произвольной формы без заданного k; вокруг ядер можно показать окружности ε.

НовоеШкольные

Кривые Безье и де Кастельжо

Запустить симулятор

Контрольные точки задают кривую Безье; алгоритм де Кастельжо строит B(t) вложенной линейной интерполяцией.

Множество Мандельброта

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

Множество Жюлиа

Фрактал Ньютона

Вейвлет Морле

DBSCAN: плотностная кластеризация

Кривые Безье и де Кастельжо

Множество Мандельброта

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы