O que faz o parâmetro de relaxação ω?

ω escala a correção de Newton. Com ω = 1 é o método de Newton clássico; com ω ≠ 1 o passo é relaxado. Mudar ω altera a velocidade de convergência e pode reorganizar as fronteiras das bacias, às vezes criando ou destruindo ciclos atratores.

Por que as fronteiras são tão recortadas?

Perto das fronteiras das bacias, uma mudança minúscula no ponto inicial manda a órbita para outra raiz. Essa sensibilidade produz separadores fractais autossimilares, e não células de Voronoi lisas.

Todo ponto inicial converge a uma raiz?

Não necessariamente. Alguns pontos divergem, vagueiam ou caem em ciclos atratores que não são raízes, sobretudo com ω alterado. As bacias coloridas marcam a atração bem-sucedida às raízes n-ésimas da unidade dentro do limite de iterações.

Fractal de Newton

Bacias de atração das iterações do método de Newton para zⁿ − 1 com parâmetro de relaxação ω.

Sobre o modelo

O fractal de Newton é o retrato das bacias de atração do método de Newton para um polinômio complexo: itera-se z_{n+1} = z_n − ω f(z_n)/f'(z_n). Para f(z) = zⁿ − 1 as raízes são as raízes n-ésimas da unidade; cada uma atrai a sua bacia de pontos iniciais, e as fronteiras das bacias formam conjuntos fractais aparentados aos conjuntos de Julia. O pixel é colorido segundo a raiz à qual a iteração convergiu e, muitas vezes, segundo a velocidade de convergência. O parâmetro de relaxação ω escala o passo clássico (ω = 1); se ω ≠ 1 as fronteiras se reorganizam e às vezes aparecem ciclos atratores que não são raízes. A família é só zⁿ − 1; a aritmética tem precisão finita, sem proteção contra esses ciclos.

Para quem: Métodos numéricos e dinâmica complexa: método de Newton, bacias de atração.

Conceitos-chave

fractal de Newton
método de Newton
bacia de atração
raízes da unidade
parâmetro de relaxação
iteração complexa

Como funciona

O método de Newton para f(z)=zⁿ−1 itera z_{n+1}=z_n−ω f(z_n)/f'(z_n). As raízes são as raízes n-ésimas da unidade; a cor do pixel mostra em que bacia caiu o ponto inicial. Com ω=1 é o Newton clássico; a relaxação ω≠1 reorganiza as fronteiras e pode gerar ciclos que não são raízes. As fronteiras das bacias são fractais: partidas próximas vão para raízes diferentes.

Fórmulas principais

zₙ₊₁ = zₙ − ω · p(zₙ) / p′(zₙ)

p(z) = zⁿ − 1, p′(z) = n z^{n−1}

roots: ζₖ = exp(2πi k / n), k = 0…n−1

Perguntas frequentes

O que faz o parâmetro de relaxação ω?: ω escala a correção de Newton. Com ω = 1 é o método de Newton clássico; com ω ≠ 1 o passo é relaxado. Mudar ω altera a velocidade de convergência e pode reorganizar as fronteiras das bacias, às vezes criando ou destruindo ciclos atratores.
Por que as fronteiras são tão recortadas?: Perto das fronteiras das bacias, uma mudança minúscula no ponto inicial manda a órbita para outra raiz. Essa sensibilidade produz separadores fractais autossimilares, e não células de Voronoi lisas.
Todo ponto inicial converge a uma raiz?: Não necessariamente. Alguns pontos divergem, vagueiam ou caem em ciclos atratores que não são raízes, sobretudo com ω alterado. As bacias coloridas marcam a atração bem-sucedida às raízes n-ésimas da unidade dentro do limite de iterações.

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