Зачем конечная разность, а не символьная производная?

Символьное дифференцирование удобно, когда оно есть; здесь важна **гибкость**: любое выражение, которое можно нарисовать, сразу же можно «прокрутить» методом Ньютона. Платой становятся погрешность **f′** и возможные сбои около почти горизонтальной касательной.

Почему метод «ломается» от некоторых стартов?

Глобальной сходимости нет: при малой **f′** и заметной **f** следующая точка может улететь далеко. На плоских участках срабатывает стоп **«почти нулевая производная»**. Для осциллирующих **f** возможны циклы без демпфирования.

Чем это отличается от фрактала Ньютона на сайте?

Там раскрашивается **комплексная плоскость**: какой **комплексный** корень притягивает **z₀** при **z − p(z)/p′(z)**. Здесь — **вещественная 1D-геометрия**: график **f**, касательные и движение по **ℝ**.

Видна ли «квадратичная» сходимость?

Лишь качественно: около простого корня и хорошего **x₀** высота **|f(xₙ)|** падает очень быстро. Точные порядки не выводятся; смотрите столбцы **f** и **Δx** в таблице на последних шагах.

Метод Ньютона (1D)

Метод Ньютона ищет корень уравнения f(x) = 0, линеаризуя f в текущей точке xₙ и беря пересечение касательной к оси x как следующее приближение xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Геометрически: из (xₙ, 0) поднимаемся вертикально к (xₙ, f(xₙ)), затем идём по касательной к следующему пересечению с осью. Симулятор строит y = f(x) по выражению mathjs, задаёт x₀ кликом по графику (небольшое перетаскивание считается панорамированием) и рисует поломаную траекторию Ньютона. f′ берётся симметричной конечной разностью, чтобы можно было пробовать разные f без ручного дифференцирования. Есть пресеты, зум по x, ползунок x₀, лимит итераций и короткий лог шагов. Остановки: малый |f|, малый шаг |Δx|, почти нулевая f′, нечисловые значения и расходимость. Это дополняет симулятор ньютоновского фрактала на ℂ, где показаны бассейны корней, а не «касательная картинка» на ℝ.

Для кого: Курс математического анализа и основ численных методов: линеаризация, чувствительность к начальному приближению; сравнение с комплексными бассейнами притяжения.

Ключевые понятия

Метод Ньютона
Касательная
Линеаризация
Поиск корня
Производная конечной разности
Квадратичная сходимость (локально)
Бассейн притяжения (интуиция в 1D)

f(x)

Выражение (mathjs)

Используйте x, ^, sin, cos, exp, log, sqrt, abs, pi, e. Ищем корни f(x)=0.

Итерации

Макс. итераций18

x₀ (ползунок или клик по графику)1.2

Вид

Масштаб (по горизонтали)1 ×

Перетаскивание по графику — панорама вдоль x.

Горячие клавиши

Клик по графику (без заметного перетаскивания) — выбрать начальное x₀
Перетаскивание по графику — панорама по x
Пробел / Enter — сброс окна по x; R — слегка случайное x₀

Измеренные величины

СтатусСошлось

Итераций сделано4

Последний x1.4142136

f(последний x)4.4409e-16

#xfΔx

11.2000-0.5600-0.2333

21.43330.054440.01899

31.41430.00036070.0001275

41.41421.626e-85.749e-9

Как это работает

Метод Ньютона: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) — пересечение касательной к графику y = f(x) с осью x. Здесь f′ численно; клик задаёт x₀. На комплексной плоскости бассейны корней показывает отдельный симулятор ньютоновского фрактала.

Часто задаваемые вопросы

Зачем конечная разность, а не символьная производная?: Символьное дифференцирование удобно, когда оно есть; здесь важна гибкость: любое выражение, которое можно нарисовать, сразу же можно «прокрутить» методом Ньютона. Платой становятся погрешность f′ и возможные сбои около почти горизонтальной касательной.
Почему метод «ломается» от некоторых стартов?: Глобальной сходимости нет: при малой f′ и заметной f следующая точка может улететь далеко. На плоских участках срабатывает стоп «почти нулевая производная». Для осциллирующих f возможны циклы без демпфирования.
Чем это отличается от фрактала Ньютона на сайте?: Там раскрашивается комплексная плоскость: какой комплексный корень притягивает z₀ при z − p(z)/p′(z). Здесь — вещественная 1D-геометрия: график f, касательные и движение по ℝ.
Видна ли «квадратичная» сходимость?: Лишь качественно: около простого корня и хорошего x₀ высота |f(xₙ)| падает очень быстро. Точные порядки не выводятся; смотрите столбцы f и Δx в таблице на последних шагах.