Зачем конечная разность, а не символьная производная?

Символьное дифференцирование удобно, когда оно есть; здесь важна гибкость: любое выражение, которое можно нарисовать, сразу же можно прогнать методом Ньютона. Платой становятся погрешность f′ и возможные сбои около почти горизонтальной касательной.

Почему метод «ломается» от некоторых стартов?

Глобальной сходимости нет: при малой f′ и заметной f следующая точка может улететь далеко. На плоских участках срабатывает останов «почти нулевая производная». Для осциллирующих f возможны циклы без демпфирования.

Чем это отличается от фрактала Ньютона на сайте?

Там раскрашивается комплексная плоскость: какой комплексный корень притягивает z₀ при z − p(z)/p′(z). Здесь — вещественная геометрия: график f, касательные и движение по оси x.

Видна ли квадратичная сходимость?

Лишь качественно: около простого корня и хорошего x₀ высота |f(xₙ)| падает очень быстро. Точные порядки не выводятся; смотрите столбцы f и Δx в таблице на последних шагах.

Метод Ньютона (1D)

График f(x), клик задаёт x₀, итерации x − f/f′ (производная численно); панорама и заготовки. Бассейны на ℂ — отдельный опыт «фрактал Ньютона».

f(x)

Выражение (mathjs)

Используйте x, ^, sin, cos, exp, log, sqrt, abs, pi, e. Ищем корни f(x)=0.

Итерации

Макс. итераций18

x₀ (ползунок или клик по графику)1.2

Вид

Масштаб (по горизонтали)1 ×

Перетаскивание по графику — панорама вдоль x.

Горячие клавиши

Клик по графику (без заметного перетаскивания) — выбрать начальное x₀
Перетаскивание по графику — панорама по x
Пробел / Enter — сброс окна по x; R — слегка случайное x₀

Измеренные величины

СтатусСошлось

Итераций сделано4

Последний x1.4142136

f(последний x)4.4409e-16

#xfΔx

11.2000-0.5600-0.2333

21.43330.054440.01899

31.41430.00036070.0001275

41.41421.626e-85.749e-9

О модели

Метод Ньютона ищет корень уравнения f(x) = 0: в текущей точке xₙ функцию линеаризуют и берут пересечение касательной с осью x как следующее приближение xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Геометрически из (xₙ, 0) поднимаются к графику и спускаются по касательной. График y = f(x) строится по выражению; x₀ задают кликом (небольшое перетаскивание — панорама). Производная берётся симметричной конечной разностью, чтобы пробовать разные f без ручного дифференцирования. Есть заготовки, масштаб по x, ползунок x₀, лимит итераций и журнал шагов. Остановки: малый |f|, малый шаг |Δx|, почти нулевая f′, нечисловые значения и расходимость. На комплексной плоскости бассейны корней показывает отдельный опыт «фрактал Ньютона».

Для кого: Курс математического анализа и основ численных методов: линеаризация, чувствительность к начальному приближению; сравнение с комплексными бассейнами притяжения.

Ключевые понятия

метод Ньютона
касательная
линеаризация
поиск корня
производная конечной разности
квадратичная сходимость
бассейн притяжения

Как это работает

Метод Ньютона: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) — пересечение касательной к графику y = f(x) с осью x. Здесь f′ берётся конечной разностью; клик задаёт x₀. На комплексной плоскости бассейны корней показывает отдельный опыт «фрактал Ньютона».

Часто задаваемые вопросы

Зачем конечная разность, а не символьная производная?: Символьное дифференцирование удобно, когда оно есть; здесь важна гибкость: любое выражение, которое можно нарисовать, сразу же можно прогнать методом Ньютона. Платой становятся погрешность f′ и возможные сбои около почти горизонтальной касательной.
Почему метод «ломается» от некоторых стартов?: Глобальной сходимости нет: при малой f′ и заметной f следующая точка может улететь далеко. На плоских участках срабатывает останов «почти нулевая производная». Для осциллирующих f возможны циклы без демпфирования.
Чем это отличается от фрактала Ньютона на сайте?: Там раскрашивается комплексная плоскость: какой комплексный корень притягивает z₀ при z − p(z)/p′(z). Здесь — вещественная геометрия: график f, касательные и движение по оси x.
Видна ли квадратичная сходимость?: Лишь качественно: около простого корня и хорошего x₀ высота |f(xₙ)| падает очень быстро. Точные порядки не выводятся; смотрите столбцы f и Δx в таблице на последних шагах.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Фрактал Ньютона

Запустить симулятор

Бассейны притяжения итераций метода Ньютона для zⁿ − 1 с параметром релаксации ω.

НовоеУниверситет / научные

Бассейны Ньютона–Рафсона

Запустить симулятор

Карта бассейнов метода Ньютона–Рафсона для системы F(x, y) = 0: зависимость от начального приближения, число итераций, притяжение к корням и срывы при вырожденном якобиане.

НовоеШкольные