Почему случайное правило даёт детерминированную фигуру?

Случайность лишь выбирает, какое **сжимающее** отображение применить; каждое — строгое сжатие плоскости к вершине. Почти любая бесконечная последовательность выборов **заполняет** единственное инвариантное компактное множество IFS — не «размытое пятно».

Нужно ли начинать строго внутри треугольника?

С любой стартовой точки на плоскости после **прогрева** облако визуально входит в сальфетку; далекие старты дают более длинный **хвост**. Старт в **центроиде** убирает заметный начальный след.

Что даёт отключение цвета по вершине?

Тот же аттрактор, но без **трёхцветного** разбиения: **монохром** подчёркивает плотность, **RGB** — как склеиваются три **копии** узора.

То же самое на квадрате с четырьмя вершинами?

При той же схеме «к случайной вершине на полпути» на квадрате облако обычно **заполняет** область плотнее и не сходится к тонкому фракталу как в треугольном случае — **три** карты с **равносторонней** геометрией здесь особые.

Хаос-игра (треугольник Серпинского)

Случайная вершина + шаг к середине; аттрактор — сальфетка Серпинского; три цвета по вершине.

О модели

Хаос-игра — вероятностный способ построения фракталов через итерированные функциональные системы (IFS). Фиксируются три вершины равностороннего треугольника. Начальная точка — внутри (здесь центроид). На каждом шаге равновероятно выбирается вершина V_k, и текущая точка P заменяется серединой отрезка PV_k: P ← (P + V_k)/2. Бесконечная итерация даёт облако точек, чьё замыкание — сальфетка Серпинского: компактный фрактал с хаусдорфовой размерностью log 3 / log 2 в идеальном пределе. Раскраска по номеру выбранной вершины показывает разбиение аттрактора на три самоподобные части. Симулятор накапливает точки в растровом буфере с настраиваемой силой чернил и скоростью; контур — порождающий треугольник. Это стандартный мост от случайного процесса к геометрической самоподобности, рядом с алгебраическим описанием IFS {f_k(x) = (x + V_k)/2}.

Для кого: Школьники и студенты начальных курсов, изучающие фракталы, вероятность и итерации; все, кто сравнивает монте-карловский процесс с детерминированной самоподобной геометрией.

Ключевые понятия

Хаос-игра
Треугольник Серпинского
Итерированная функциональная система (IFS)
Аффинное отображение
Аттрактор
Самоподобие
Фрактальная размерность
Итерация через середину

Как это работает

Хаос-игра на равностороннем треугольнике: из текущей точки P выбирается случайная вершина V_k, затем P переносится в середину отрезка PV_k, то есть P ← (P + V_k)/2. При бесконечном числе шагов распределение точек сходится к фрактальному множеству — салфетке Серпинского (классический аттрактор IFS с тремя сжимающими аффинными отображениями). Цвет по номеру выбранной вершины показывает, как три самоподобные части склеиваются в целый узор.

Основные формулы

P ← (P + V_k) / 2 , k ∈ {0,1,2} равномерно

Часто задаваемые вопросы

Почему случайное правило даёт детерминированную фигуру?: Случайность лишь выбирает, какое сжимающее отображение применить; каждое — строгое сжатие плоскости к вершине. Почти любая бесконечная последовательность выборов заполняет единственное инвариантное компактное множество IFS — не «размытое пятно».
Нужно ли начинать строго внутри треугольника?: С любой стартовой точки на плоскости после прогрева облако визуально входит в сальфетку; далекие старты дают более длинный хвост. Старт в центроиде убирает заметный начальный след.
Что даёт отключение цвета по вершине?: Тот же аттрактор, но без трёхцветного разбиения: монохром подчёркивает плотность, RGB — как склеиваются три копии узора.
То же самое на квадрате с четырьмя вершинами?: При той же схеме «к случайной вершине на полпути» на квадрате облако обычно заполняет область плотнее и не сходится к тонкому фракталу как в треугольном случае — три карты с равносторонней геометрией здесь особые.