Почему случайное правило даёт детерминированную фигуру?

Случайность лишь выбирает, какое **сжимающее** отображение применить; каждое — строгое сжатие плоскости к вершине. Почти любая бесконечная последовательность выборов **заполняет** единственное инвариантное компактное множество IFS — не «размытое пятно».

Нужно ли начинать строго внутри треугольника?

С любой стартовой точки на плоскости после **прогрева** облако визуально входит в сальфетку; далекие старты дают более длинный **хвост**. Старт в **центроиде** убирает заметный начальный след.

Что даёт отключение цвета по вершине?

Тот же аттрактор, но без **трёхцветного** разбиения: **монохром** подчёркивает плотность, **RGB** — как склеиваются три **копии** узора.

То же самое на квадрате с четырьмя вершинами?

При той же схеме «к случайной вершине на полпути» на квадрате облако обычно **заполняет** область плотнее и не сходится к тонкому фракталу как в треугольном случае — **три** карты с **равносторонней** геометрией здесь особые.

Хаос-игра (треугольник Серпинского)

**Хаос-игра** — вероятностный способ построения **фракталов** через **итерированные функциональные системы (IFS)**. Фиксируются **три** вершины **равностороннего треугольника**. Начальная точка — внутри (здесь **центроид**). На каждом шаге **равновероятно** выбирается вершина **V_k**, и текущая точка **P** заменяется **серединой** отрезка **PV_k**: **P ← (P + V_k)/2**. Бесконечная итерация даёт **облако точек**, чьё замыкание — **сальфетка Серпинского**: компактный **фрактал** с хаусдорфовой размерностью **log 3 / log 2** в идеальном пределе. **Раскраска** по номеру выбранной вершины показывает разбиение аттрактора на **три самоподобные части**. Симулятор накапливает точки в **растровом буфере** с настраиваемой **силой чернил** и **скоростью**; контур — **порождающий треугольник**. Это стандартный **мост** от **случайного процесса** к **геометрической самоподобности**, рядом с алгебраическим описанием IFS **{f_k(x) = (x + V_k)/2}**.

Для кого: Школьники и студенты начальных курсов, изучающие фракталы, вероятность и итерации; все, кто сравнивает монте-карловский процесс с детерминированной самоподобной геометрией.

Ключевые понятия

Хаос-игра
Треугольник Серпинского
Итерированная функциональная система (IFS)
Аффинное отображение
Аттрактор
Самоподобие
Фрактальная размерность
Итерация через середину

Как это работает

**Хаос-игра** на **равностороннем треугольнике**: из текущей точки **P** выбирается **случайная вершина** **V_k**, затем **P** переносится в **середину** отрезка **PV_k**, то есть **P ← (P + V_k)/2**. При **бесконечном** числе шагов распределение точек **сходится** к **фрактальному множеству** — **салфетке Серпинского** (классический **аттрактор** **IFS** с тремя **сжимающими** аффинными отображениями). **Цвет** по **номеру** выбранной **вершины** показывает, как **три** **самоподобные** **части** **склеиваются** в **целый** узор.

Основные формулы

P ← (P + V_k) / 2 , k ∈ {0,1,2} равномерно

Часто задаваемые вопросы

Почему случайное правило даёт детерминированную фигуру?: Случайность лишь выбирает, какое **сжимающее** отображение применить; каждое — строгое сжатие плоскости к вершине. Почти любая бесконечная последовательность выборов **заполняет** единственное инвариантное компактное множество IFS — не «размытое пятно».
Нужно ли начинать строго внутри треугольника?: С любой стартовой точки на плоскости после **прогрева** облако визуально входит в сальфетку; далекие старты дают более длинный **хвост**. Старт в **центроиде** убирает заметный начальный след.
Что даёт отключение цвета по вершине?: Тот же аттрактор, но без **трёхцветного** разбиения: **монохром** подчёркивает плотность, **RGB** — как склеиваются три **копии** узора.
То же самое на квадрате с четырьмя вершинами?: При той же схеме «к случайной вершине на полпути» на квадрате облако обычно **заполняет** область плотнее и не сходится к тонкому фракталу как в треугольном случае — **три** карты с **равносторонней** геометрией здесь особые.

Другие симуляторы в этой категории — или все 30.

Вся категория →

НовоеНачинающий