Что означают разные цвета у множества Мандельброта?

Тёмные точки — орбита осталась ограниченной за отведённое число шагов (кандидат в множество). Остальные цвета — сколько итераций понадобилось, чтобы |z| превысил радиус ухода. Это карта скорости убегания, не «высота» множества.

Чем множество Жюлиа отличается от Мандельброта?

Одно уравнение z ← z² + c, разные роли. Мандельброт: z₀ = 0, по плоскости бегает c. Жюлиа: c фиксирован, по плоскости бегает z₀. Точка c внутри Мандельброта даёт связное множество Жюлиа; снаружи — «пыль».

Почему у снежинки Коха периметр бесконечен, а площадь нет?

На каждом шаге каждый отрезок заменяют четырьмя в 1/3 длины: периметр умножается на 4/3 и растёт без предела. Добавляемые треугольники быстро мельчают, поэтому площадь сходится.

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

Множество Мандельброта, множество Жюлиа и снежинка Коха. Итерации z ← z² + c, масштаб колёсиком.

О модели

Множество Мандельброта и множества Жюлиа строят итерацией z_{n+1} = z_n² + c на комплексной плоскости. Для Мандельброта c — точка плоскости, z₀ = 0; точка принадлежит множеству, если орбита ограничена. Для Жюлиа параметр c фиксируют, меняют начальную z₀. Цвет — число итераций до |z| > R (время ухода); тёмное — орбита не ушла за отведённое число шагов. Снежинка Коха — другая конструкция: каждый отрезок заменяют ломаной из четырёх звеньев, периметр растёт, площадь остаётся конечной. Число итераций и радиус ухода конечны — это приближение настоящей границы. Вид сдвигают мышью, масштаб — колёсиком; у Коха меняют глубину рекурсии.

Для кого: Комплексные числа и динамические системы: итерации, ограниченность орбиты, самоподобие.

Ключевые понятия

множество Мандельброта
множество Жюлиа
снежинка Коха
комплексное число
итерация
время ухода
самоподобие

Как это работает

Мандельброт: z₀ = 0, c бегает по пикселю, z ← z² + c. Жюлиа: c фиксирован, z₀ — пиксель. Цвет — число шагов до ухода за радиус R. Снежинка Коха строится заменой каждого отрезка ломаной; глубина рекурсии задаёт детализацию. Перетаскивание сдвигает вид, колесо меняет масштаб.

Основные формулы

Мандельброт: z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + c (c по плоскости)

Джулия: c фикс., z₀ = пиксель, zₙ₊₁ = zₙ² + c

Часто задаваемые вопросы

Что означают разные цвета у множества Мандельброта?: Тёмные точки — орбита осталась ограниченной за отведённое число шагов (кандидат в множество). Остальные цвета — сколько итераций понадобилось, чтобы |z| превысил радиус ухода. Это карта скорости убегания, не «высота» множества.
Чем множество Жюлиа отличается от Мандельброта?: Одно уравнение z ← z² + c, разные роли. Мандельброт: z₀ = 0, по плоскости бегает c. Жюлиа: c фиксирован, по плоскости бегает z₀. Точка c внутри Мандельброта даёт связное множество Жюлиа; снаружи — «пыль».
Почему у снежинки Коха периметр бесконечен, а площадь нет?: На каждом шаге каждый отрезок заменяют четырьмя в 1/3 длины: периметр умножается на 4/3 и растёт без предела. Добавляемые треугольники быстро мельчают, поэтому площадь сходится.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Множество Мандельброта

Запустить симулятор

Глубокое увеличение множества Мандельброта: перетаскивание и колесо мыши, непрерывная раскраска и именные ориентиры.

НовоеУниверситет / научные

Множество Жюлиа

Запустить симулятор

Параметр c с миниатюрного множества Мандельброта или анимация по окружности; пыль Фату против связных множеств.

НовоеДети

Хаос-игра (треугольник Серпинского)

Запустить симулятор

Случайный выбор вершины треугольника и шаг в середину отрезка: облако точек сходится к салфетке Серпинского. Цвет по выбранной вершине показывает три самоподобные части.

НовоеУниверситет / научные

Фрактал Ньютона

Запустить симулятор

Бассейны притяжения итераций метода Ньютона для zⁿ − 1 с параметром релаксации ω.

НовоеШкольные

Песчаная куча Бака–Танга–Визенфельда

Запустить симулятор

Абелева модель: добавление зёрен, при высоте ≥ 4 — осыпание на соседей. Лавины без настройки порога — самоорганизованная критичность.

НовоеШкольные

Логистический рост

Запустить симулятор

Логистическое уравнение dN/dt = rN(1 − N/K): S-образная кривая и выход на ёмкость среды K. График — точное решение, не шаг Эйлера.

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Множество Мандельброта

Множество Жюлиа

Хаос-игра (треугольник Серпинского)

Фрактал Ньютона

Песчаная куча Бака–Танга–Визенфельда

Логистический рост

Фракталы: Мандельброт, Жюлиа, Кох

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы