¿Qué hace el parámetro de relajación ω?

ω escala la corrección de Newton. Con ω = 1 es el método de Newton clásico; con ω ≠ 1 el paso está relajado. Cambiar ω altera la velocidad de convergencia y puede reordenar las fronteras de las cuencas, a veces creando o destruyendo ciclos atractores.

¿Por qué las fronteras son tan recortadas?

Cerca de las fronteras de las cuencas un cambio minúsculo de la aproximación inicial lleva la órbita a otra raíz. Esa sensibilidad produce separadores fractales autosemejantes, no celdas suaves de Voronoi.

¿Toda aproximación inicial converge a una raíz?

No necesariamente. Algunos puntos divergen, vagan o caen en ciclos atractores que no son raíces, sobre todo si se cambia ω. Las cuencas de color marcan la atracción exitosa hacia las raíces n-ésimas de la unidad dentro del tope de iteraciones.

Fractal de Newton

Cuencas de atracción de las iteraciones del método de Newton para zⁿ − 1 con parámetro de relajación ω.

Sobre el modelo

El fractal de Newton nace del método de Newton para las raíces de un polinomio complejo: se itera z_{n+1} = z_n − ω f(z_n)/f'(z_n). Para f(z) = zⁿ − 1 las raíces son las raíces n-ésimas de la unidad; cada una atrae su cuenca de puntos iniciales, y las fronteras de las cuencas forman conjuntos fractales emparentados con los de Julia. El píxel se colorea según la raíz a la que llegó la iteración, y a menudo según la velocidad de convergencia. El parámetro de relajación ω escala el paso clásico (ω = 1); si ω ≠ 1 las fronteras se reordenan y a veces aparecen ciclos atractores que no son raíces. La familia es solo zⁿ − 1; aritmética de precisión finita, sin protección contra esos ciclos.

Para quién: Métodos numéricos y dinámica compleja: método de Newton, cuencas de atracción.

Conceptos clave

fractal de Newton
método de Newton
cuenca de atracción
raíces de la unidad
parámetro de relajación
iteración compleja

Cómo funciona

El método de Newton para f(z)=zⁿ−1 itera z_{n+1}=z_n−ω f(z_n)/f'(z_n). Las raíces son las raíces n-ésimas de la unidad; el color del píxel muestra en qué cuenca cayó la aproximación inicial. Con ω=1 es el método de Newton clásico; la relajación ω≠1 reordena las fronteras y puede crear ciclos que no son raíces. Las fronteras de las cuencas son fractales: arranques cercanos se van a raíces distintas.

Fórmulas principales

zₙ₊₁ = zₙ − ω · p(zₙ) / p′(zₙ)

p(z) = zⁿ − 1, p′(z) = n z^{n−1}

roots: ζₖ = exp(2πi k / n), k = 0…n−1

Preguntas frecuentes

¿Qué hace el parámetro de relajación ω?: ω escala la corrección de Newton. Con ω = 1 es el método de Newton clásico; con ω ≠ 1 el paso está relajado. Cambiar ω altera la velocidad de convergencia y puede reordenar las fronteras de las cuencas, a veces creando o destruyendo ciclos atractores.
¿Por qué las fronteras son tan recortadas?: Cerca de las fronteras de las cuencas un cambio minúsculo de la aproximación inicial lleva la órbita a otra raíz. Esa sensibilidad produce separadores fractales autosemejantes, no celdas suaves de Voronoi.
¿Toda aproximación inicial converge a una raíz?: No necesariamente. Algunos puntos divergen, vagan o caen en ciclos atractores que no son raíces, sobre todo si se cambia ω. Las cuencas de color marcan la atracción exitosa hacia las raíces n-ésimas de la unidad dentro del tope de iteraciones.

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