Que fait le paramètre de relaxation ω ?

ω met à l’échelle la correction de Newton. Pour ω = 1, c’est la méthode de Newton classique ; pour ω ≠ 1, le pas est relaxé. Changer ω modifie la vitesse de convergence et peut réorganiser les frontières des bassins, parfois créer ou détruire des cycles attractifs.

Pourquoi les frontières sont-elles si découpées ?

Près des frontières des bassins, un infime changement du départ envoie l’orbite vers une autre racine. Cette sensibilité produit des séparateurs fractals auto-similaires, pas des cellules de Voronoï lisses.

Tout point de départ converge-t-il vers une racine ?

Pas nécessairement. Certains points divergent, errent ou tombent dans des cycles attractifs qui ne sont pas des racines, surtout si ω est modifié. Les bassins colorés marquent l’attraction réussie vers les racines n-ièmes de l’unité dans la limite d’itérations.

Fractale de Newton

Bassins d’attraction des itérations de Newton pour zⁿ − 1, avec un paramètre de relaxation ω.

À propos du modèle

La méthode de Newton pour les racines d’un polynôme complexe itère z_{n+1} = z_n − ω f(z_n)/f'(z_n). Pour f(z) = zⁿ − 1 les racines sont les racines n-ièmes de l’unité ; chacune attire son bassin de points de départ, et les frontières des bassins forment des ensembles fractals, cousins des ensembles de Julia. Un pixel est coloré selon la racine vers laquelle l’itération a convergé, et souvent selon la vitesse de convergence. Le paramètre de relaxation ω met à l’échelle le pas classique (ω = 1) ; si ω ≠ 1 les frontières se réorganisent, parfois apparaissent des cycles attractifs qui ne sont pas des racines. Famille zⁿ − 1 seulement ; arithmétique de précision finie, sans protection contre de tels cycles.

Public : Méthodes numériques et dynamique complexe : méthode de Newton, bassins d’attraction.

Notions clés

fractale de Newton
méthode de Newton
bassin d’attraction
racines de l’unité
paramètre de relaxation
itération complexe

Comment ça marche

La méthode de Newton pour f(z)=zⁿ−1 itère z_{n+1}=z_n−ω f(z_n)/f'(z_n). Les racines sont les racines n-ièmes de l’unité ; la couleur du pixel indique dans quel bassin est tombé le départ. Pour ω=1, c’est Newton classique ; la relaxation ω≠1 réorganise les frontières et peut engendrer des cycles qui ne sont pas des racines. Les frontières des bassins sont fractales : des départs proches partent vers des racines différentes.

Formules

zₙ₊₁ = zₙ − ω · p(zₙ) / p′(zₙ)

p(z) = zⁿ − 1, p′(z) = n z^{n−1}

roots: ζₖ = exp(2πi k / n), k = 0…n−1

Questions fréquentes

Que fait le paramètre de relaxation ω ?: ω met à l’échelle la correction de Newton. Pour ω = 1, c’est la méthode de Newton classique ; pour ω ≠ 1, le pas est relaxé. Changer ω modifie la vitesse de convergence et peut réorganiser les frontières des bassins, parfois créer ou détruire des cycles attractifs.
Pourquoi les frontières sont-elles si découpées ?: Près des frontières des bassins, un infime changement du départ envoie l’orbite vers une autre racine. Cette sensibilité produit des séparateurs fractals auto-similaires, pas des cellules de Voronoï lisses.
Tout point de départ converge-t-il vers une racine ?: Pas nécessairement. Certains points divergent, errent ou tombent dans des cycles attractifs qui ne sont pas des racines, surtout si ω est modifié. Les bassins colorés marquent l’attraction réussie vers les racines n-ièmes de l’unité dans la limite d’itérations.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 85 de «Visualisation mathématique».

Toute la catégorie →

NouveauUniversité

Bassins de Newton–Raphson

Lancer la simulation

Carte des bassins de Newton–Raphson pour le système F(x, y) = 0 : dépendance de l’approximation initiale, nombre d’itérations, attraction vers les racines et échecs lorsque la jacobienne est dégénérée.

NouveauCollège–lycée

Méthode de Newton (1D)

Lancer la simulation

Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur �Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur ℂ sont dans l’expérience séparée « fractale de Newton ».

NouveauUniversité

Ensemble de Mandelbrot

Lancer la simulation

Fort agrandissement de l’ensemble de Mandelbrot : glisser et molette, coloration continue et repères nommés.

NouveauCollège–lycée

Fractales : Mandelbrot, Julia, Koch

Lancer la simulation

Ensemble de Mandelbrot, ensemble de Julia et flocon de Koch. Itérations z ← z² + c, échelle à la molette.

NouveauUniversité

Ondelette de Morlet

Lancer la simulation

Transformée en ondelettes continue avec l’ondelette complexe de Morlet : scalogramme |W(s,t)|, axe logarithmique des fréquences, cône d’influence, ω₀ et intervalle d’échelles.

NouveauEnfants

Jeu du chaos (triangle de Sierpiński)

Lancer la simulation

Choix au hasard d’un sommet du triangle et pas vers le milieu du segment : le nuage converge vers le triangle de Sierpiński. La couleur selon le sommet montre les trois parties auto-similaires.

Fractale de Newton

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes

Simulations voisines

Bassins de Newton–Raphson

Méthode de Newton (1D)

Ensemble de Mandelbrot

Fractales : Mandelbrot, Julia, Koch

Ondelette de Morlet

Jeu du chaos (triangle de Sierpiński)

Fractale de Newton

À propos du modèle

Comment ça marche

Formules

Questions fréquentes