Почему границы Newton basins такие сложные?

Newton step — это локальное линейное решение, но далеко от root такой шаг может отправить близкие initial guesses к разным корням. Повторение нелинейного отображения создаёт чувствительные, часто fractal-like границы basins.

Что такое Jacobian failure?

Newton step требует решить J delta = F. Если Jacobian singular или почти singular, шаг не определён или становится огромным, поэтому итерация может остановиться, улететь или не пройти convergence test.

Бассейны Ньютона для 2D систем

Карта Newton basins для нелинейных F(x,y)=0: чувствительность к initial guess, iteration counts, root attraction и singular-Jacobian failures.

Каждый пиксель — отдельный initial guess. Newton может сходиться квадратично рядом с простым root, но далеко от него та же формула перескакивает через basins, попадает в почти singular Jacobian или не сходится за лимит итераций.

Графики

О модели

Метод Ньютона–Рафсона в двух переменных обновляет u=(x,y) по формуле u_{k+1}=u_k-J(u_k)^{-1}F(u_k). Симулятор рассматривает z^n-1=0 как real 2D system Re(z^n-1)=0 и Im(z^n-1)=0, а затем красит каждый initial guess по корню, к которому он сходится. Яркость показывает iteration count, тёмные пиксели отмечают failures, а probe path показывает, как одна стартовая точка может перескакивать между basins или попасть в почти singular Jacobian.

Для кого: Numerical methods, nonlinear equations, applied mathematics, complex dynamics и курсы scientific computing.

Ключевые понятия

Newton-Raphson method
Basin of attraction
Jacobian
Nonlinear system
Initial guess
Quadratic convergence

Как это работает

Newton-Raphson для системы F(x,y)=0 использует локальную линеаризацию: u_{k+1}=u_k−J(u_k)^{-1}F(u_k). В демо комплексное уравнение z^n−1=0 записано как две реальные функции Re(z^n−1)=0 и Im(z^n−1)=0. Каждый пиксель — initial guess; цвет показывает, к какому root пришла итерация, а яркость — сколько шагов потребовалось. Тёмные области появляются при singular/near-singular Jacobian, уходе траектории или отсутствии сходимости за лимит.

Основные формулы

Newton step: u_{k+1}=u_k − J(u_k)^{-1}F(u_k), u=(x,y)

Demo system: z^n−1=0, то есть Re(z^n−1)=0 и Im(z^n−1)=0

Часто задаваемые вопросы

Почему границы Newton basins такие сложные?: Newton step — это локальное линейное решение, но далеко от root такой шаг может отправить близкие initial guesses к разным корням. Повторение нелинейного отображения создаёт чувствительные, часто fractal-like границы basins.
Что такое Jacobian failure?: Newton step требует решить J delta = F. Если Jacobian singular или почти singular, шаг не определён или становится огромным, поэтому итерация может остановиться, улететь или не пройти convergence test.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Newton Fractal

Запустить симулятор

Basins of attraction for Newton iteration on zⁿ−1 with adjustable relaxation ω.

НовоеШкольные

Метод Ньютона (1D)

Запустить симулятор

График f(x), клик по области задаёт x₀, итерации x − f/f′ (производная численно); панорама и пресеты. Бассейны на ℂ — отдельный симулятор «фрактал Ньютона».

НовоеУниверситет / научные

Метод сопряжённых градиентов

Запустить симулятор

SPD система Ax=b как минимизация квадратичной формы: контуры, CG vs steepest descent, residual norm и condition number.

НовоеУниверситет / научные

Оптимизаторы градиентного спуска

Запустить симулятор

Сравнение SGD, momentum и Adam на 2D loss landscape: learning rate, curvature, устойчивость и траектории итераций.

НовоеУниверситет / научные

Lorenz Strange Attractor

Запустить симулятор

σ, ρ, β ODEs; sensitive butterfly in (x,z) projection — RK4 trace.

НовоеУниверситет / научные

Степенной метод и сходимость eigenvalue

Запустить симулятор

Визуализация сходимости к dominant eigenvector: spectral gap ratio, Rayleigh quotient, eigen residual и нормированные power iterates.

Бассейны Ньютона для 2D систем

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Newton Fractal

Метод Ньютона (1D)

Метод сопряжённых градиентов

Оптимизаторы градиентного спуска

Lorenz Strange Attractor

Степенной метод и сходимость eigenvalue

Бассейны Ньютона для 2D систем

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы