Почему границы бассейнов Ньютона такие сложные?

Шаг Ньютона — локальное линейное решение, но далеко от корня близкие старты могут уйти к разным корням. Повторение нелинейного отображения даёт чувствительные, часто фракталоподобные границы.

Что такое срыв якобиана?

Шаг требует решить J δ = F. Если якобиан вырожден или почти вырожден, шаг не определён или становится огромным: итерация останавливается, улетает или не проходит критерий сходимости.

От чего зависит число итераций?

Вблизи корня с невырожденным якобианом сходимость квадратичная, и пиксель яркий (мало шагов). У границы бассейна или при почти нулевом определителе J шагов больше, либо итерация срывается.

Бассейны Ньютона–Рафсона

Карта бассейнов метода Ньютона–Рафсона для системы F(x, y) = 0: зависимость от начального приближения, число итераций, притяжение к корням и срывы при вырожденном якобиане.

Каждый пиксель — отдельный initial guess. Newton может сходиться квадратично рядом с простым root, но далеко от него та же формула перескакивает через basins, попадает в почти singular Jacobian или не сходится за лимит итераций.

Графики

О модели

Метод Ньютона–Рафсона для системы F(x, y) = 0 обновляет приближение u = (x, y) по формуле u_{k+1} = u_k − J(u_k)⁻¹ F(u_k). Уравнение zⁿ − 1 = 0 записано как две вещественные функции Re(zⁿ − 1) = 0 и Im(zⁿ − 1) = 0; каждый пиксель — начальное приближение, цвет — корень, к которому сошлась итерация. Яркость кодирует число шагов, тёмные клетки — срывы: вырожденный или почти вырожденный якобиан, уход траектории, отсутствие сходимости. Пробная траектория показывает, как одна стартовая точка перескакивает между бассейнами. Вблизи простого корня сходимость квадратичная; далеко от корня границы часто фракталоподобны.

Для кого: Численные методы и комплексная динамика: нелинейные системы, зависимость от начального приближения.

Ключевые понятия

метод Ньютона–Рафсона
бассейн притяжения
якобиан
начальное приближение
квадратичная сходимость
система F(x, y) = 0

Как это работает

Метод Ньютона для системы F(x,y)=0 использует локальную линеаризацию: u_{k+1}=u_k−J(u_k)^{-1}F(u_k). В демонстрации комплексное уравнение z^n−1=0 записано как две вещественные функции Re(z^n−1)=0 и Im(z^n−1)=0. Каждый пиксель — начальное приближение; цвет показывает, к какому корню пришла итерация, а яркость — сколько шагов потребовалось. Тёмные области возникают при вырожденном или почти вырожденном якобиане, уходе траектории или отсутствии сходимости за заданный предел числа шагов.

Основные формулы

Newton step: u_{k+1}=u_k − J(u_k)^{-1}F(u_k), u=(x,y)

Demo system: z^n−1=0, то есть Re(z^n−1)=0 и Im(z^n−1)=0

Часто задаваемые вопросы

Почему границы бассейнов Ньютона такие сложные?: Шаг Ньютона — локальное линейное решение, но далеко от корня близкие старты могут уйти к разным корням. Повторение нелинейного отображения даёт чувствительные, часто фракталоподобные границы.
Что такое срыв якобиана?: Шаг требует решить J δ = F. Если якобиан вырожден или почти вырожден, шаг не определён или становится огромным: итерация останавливается, улетает или не проходит критерий сходимости.
От чего зависит число итераций?: Вблизи корня с невырожденным якобианом сходимость квадратичная, и пиксель яркий (мало шагов). У границы бассейна или при почти нулевом определителе J шагов больше, либо итерация срывается.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Фрактал Ньютона

Запустить симулятор

Бассейны притяжения итераций метода Ньютона для zⁿ − 1 с параметром релаксации ω.

НовоеШкольные

Метод Ньютона (1D)

Запустить симулятор

График f(x), клик задаёт x₀, итерации x − f/f′ (производная численно); панорама и заготовки. Бассейны на ℂ — отдельный опыт «фрактал Ньютона».

НовоеУниверситет / научные

Метод сопряжённых градиентов

Запустить симулятор

СПД-система Ax=b как минимизация квадратичной формы: линии уровня, сопряжённые градиенты против наискорейшего спуска, норма невязки и число обусловленности.

НовоеУниверситет / научные

Оптимизаторы градиентного спуска

Запустить симулятор

Сравнение SGD, момента и Adam на двумерном рельефе функции потерь: шаг обучения, кривизна, устойчивость и траектории итераций.

НовоеУниверситет / научные

Аттрактор Лоренца

Запустить симулятор

Система Лоренца с параметрами σ, ρ, β: странный аттрактор-«бабочка» в проекции (x, z). Интегрирование методом Рунге–Кутты, чувствительность к начальным данным.

НовоеУниверситет / научные

Степенной метод: сходимость собственного значения

Запустить симулятор

Сходимость к доминирующему собственному вектору: отношение спектральной щели, частное Рэлея, невязка и нормированные итерации.

Бассейны Ньютона–Рафсона

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Фрактал Ньютона

Метод Ньютона (1D)

Метод сопряжённых градиентов

Оптимизаторы градиентного спуска

Аттрактор Лоренца

Степенной метод: сходимость собственного значения

Бассейны Ньютона–Рафсона

Графики

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы