Quand l’orbite est-elle circulaire ?

À rayon donné, une vitesse purement tangente v_circ = √(GM/r) équilibre l’attraction et l’accélération centripète, excentricité ≈ 0. Une vitesse plus faible ou une composante radiale donne une ellipse (elle peut percuter le corps central). Si |v| ≥ v_∞ = √2 v_circ, l’énergie spécifique n’est plus négative — trajectoire non liée.

Est-ce le problème des deux corps complet ?

Non. La masse centrale est fixée — approximation habituelle lorsqu’un corps est beaucoup plus lourd. Le mouvement des deux corps autour du centre de masse commun n’est pas modélisé.

Que signifient E et e ?

L’énergie mécanique spécifique E = ½v² − GM/r est négative pour les ellipses liées et non négative à la libération. L’excentricité e vient du vecteur de Laplace–Runge–Lenz : e ≈ 0 — cercle, 0 < e < 1 — ellipse, e ≥ 1 — conique non liée.

Mouvement orbital

Masse centrale fixe : vitesse et angle de lancement — orbite circulaire, elliptique ou libération.

À propos du modèle

Le mouvement orbital, dans l’approximation de cours : une particule d’essai sans masse se meut dans le champ d’une masse centrale fixe (F ∝ 1/r², le corps primaire ne se déplace pas). Lancement depuis le rayon r₀ à la vitesse k·√(GM/r₀) et selon un angle choisi ; 90° est un départ purement tangent. Orbite circulaire pour k = 1 et direction tangente ; ellipses liées si l’énergie spécifique E < 0 ; libération si E ≥ 0 (environ |v| ≥ √2 v_circ — vitesse de libération à ce rayon). À l’écran : E, l’excentricité e et le type d’orbite. La trajectoire s’arrête au rayon du corps central ; l’échelle s’adapte d’elle-même.

Public : Mécanique et astronomie : énergie orbitale, excentricité, vitesses circulaire et de libération.

Notions clés

mouvement orbital
problème de Kepler
excentricité
vitesse de libération
énergie spécifique
orbite circulaire
masse centrale fixe
orbite elliptique

Comment ça marche

Particule d’essai sans masse dans le champ central fixe d’une masse ponctuelle (problème de Kepler restreint — le primaire est immobile). Accélération a = −GM/r² vers le centre. Lancement depuis (r₀, 0) à la vitesse |v| = k √(GM/r₀) et selon un angle choisi : 90° est tangent, et k = 1 donne l’orbite circulaire ; k plus petit — ellipses (choc possible contre le centre) ; k ≥ √2 — libération si E ≥ 0. À l’écran : E, l’excentricité e et le type d’orbite. Intégration de Verlet ; l’échelle de la trace s’adapte.

Formules

a = −GM/r² · r̂ (masse centrale fixe)

v_circ = √(GM/r), v_esc = √2 v_circ

E = ½v² − GM/r · e d’après le vecteur de Laplace–Runge–Lenz

Questions fréquentes

Quand l’orbite est-elle circulaire ?: À rayon donné, une vitesse purement tangente v_circ = √(GM/r) équilibre l’attraction et l’accélération centripète, excentricité ≈ 0. Une vitesse plus faible ou une composante radiale donne une ellipse (elle peut percuter le corps central). Si |v| ≥ v_∞ = √2 v_circ, l’énergie spécifique n’est plus négative — trajectoire non liée.
Est-ce le problème des deux corps complet ?: Non. La masse centrale est fixée — approximation habituelle lorsqu’un corps est beaucoup plus lourd. Le mouvement des deux corps autour du centre de masse commun n’est pas modélisé.
Que signifient E et e ?: L’énergie mécanique spécifique E = ½v² − GM/r est négative pour les ellipses liées et non négative à la libération. L’excentricité e vient du vecteur de Laplace–Runge–Lenz : e ≈ 0 — cercle, 0 < e < 1 — ellipse, e ≥ 1 — conique non liée.

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