Wann ist die Bahn ein Kreis?

Bei gegebenem Radius gleicht die rein tangentiale Geschwindigkeit v_Kreis = √(GM/r) die Anziehung und die Zentripetalbedingung aus, Exzentrizität ≈ 0. Kleinere Geschwindigkeit oder eine Radialkomponente geben eine Ellipse (sie kann in den Zentralkörper treffen). Bei |v| ≥ v_∞ = √2 v_Kreis ist die spezifische Energie nichtnegativ — die Bahn ist ungebunden.

Ist das das volle Zweikörperproblem?

Nein. Die Zentralmasse sitzt fest — die übliche Näherung, wenn ein Körper viel schwerer ist. Die Bewegung beider Körper um den gemeinsamen Massenschwerpunkt wird nicht modelliert.

Was bedeuten E und e?

Die spezifische mechanische Energie E = ½v² − GM/r ist für gebundene Ellipsen negativ und beim Entweichen nichtnegativ. Die Exzentrizität e kommt aus dem Laplace–Runge–Lenz-Vektor: e ≈ 0 — Kreis, 0 < e < 1 — Ellipse, e ≥ 1 — ungebundene Kegelschnittbahn.

Bahnen im Zentralfeld

Feststehende Zentralmasse: Startgeschwindigkeit und -winkel — Kreisbahn, Ellipse oder Entweichen.

Zum Modell

Bahnen im Zentralfeld, in der Lehrnäherung: ein masseloses Testteilchen bewegt sich im Feld einer feststehenden Zentralmasse (F ∝ 1/r², der Primärkörper verschiebt sich nicht). Start vom Radius r₀ mit der Geschwindigkeit k·√(GM/r₀) und gewähltem Winkel; 90° ist rein tangentialer Start. Kreisbahn bei k = 1 und tangentialer Richtung; gebundene Ellipsen bei spezifischer Energie E < 0; Entweichen bei E ≥ 0 (etwa |v| ≥ √2 v_Kreis — 2. kosmische Geschwindigkeit auf diesem Radius). Am Bildschirm: E, Exzentrizität e und Bahntyp. Die Bahn bricht am Radius des Zentralkörpers ab, der Maßstab passt sich selbst an.

Für wen: Mechanik und Astronomie: Bahnenergie, Exzentrizität, 1. und 2. kosmische Geschwindigkeit.

Wichtige Begriffe

bahnen im zentralfeld
kepler-problem
exzentrizität
2. kosmische geschwindigkeit
spezifische energie
kreisbahn
feststehende zentralmasse
ellipsenbahn

So funktioniert es

Masseloses Testteilchen im festen Zentralfeld einer Punktmasse (eingeschränktes Kepler-Problem — der Primärkörper ruht). Beschleunigung a = −GM/r² zum Zentrum. Start aus (r₀, 0) mit |v| = k √(GM/r₀) und gewähltem Winkel: 90° tangential, bei k = 1 Kreisbahn; kleineres k — Ellipsen (Einschlag ins Zentrum möglich); k ≥ √2 — Entweichen bei E ≥ 0. Am Bildschirm: E, Exzentrizität e und Bahntyp. Integration nach Verlet; automatische Spurenskalierung.

Wichtige Gleichungen

a = −GM/r² · r̂ (feste Zentralmasse)

v_circ = √(GM/r), v_esc = √2 v_circ

E = ½v² − GM/r · e aus dem Laplace–Runge–Lenz-Vektor

Häufige Fragen

Wann ist die Bahn ein Kreis?: Bei gegebenem Radius gleicht die rein tangentiale Geschwindigkeit v_Kreis = √(GM/r) die Anziehung und die Zentripetalbedingung aus, Exzentrizität ≈ 0. Kleinere Geschwindigkeit oder eine Radialkomponente geben eine Ellipse (sie kann in den Zentralkörper treffen). Bei |v| ≥ v_∞ = √2 v_Kreis ist die spezifische Energie nichtnegativ — die Bahn ist ungebunden.
Ist das das volle Zweikörperproblem?: Nein. Die Zentralmasse sitzt fest — die übliche Näherung, wenn ein Körper viel schwerer ist. Die Bewegung beider Körper um den gemeinsamen Massenschwerpunkt wird nicht modelliert.
Was bedeuten E und e?: Die spezifische mechanische Energie E = ½v² − GM/r ist für gebundene Ellipsen negativ und beim Entweichen nichtnegativ. Die Exzentrizität e kommt aus dem Laplace–Runge–Lenz-Vektor: e ≈ 0 — Kreis, 0 < e < 1 — Ellipse, e ≥ 1 — ungebundene Kegelschnittbahn.

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