Почему амплитуда максимальна, когда частота возбуждения близка к √(k/m)?

Это резонанс: вынуждающая сила всё время подкачивает энергию в такт собственной моде. Установившаяся амплитуда A(ω) имеет пик вблизи ω₀ = √(k/m); чем меньше затухание, тем острее и выше пик.

Что делает коэффициент затухания ζ?

Он задаёт ширину и высоту резонансного пика. При малом ζ амплитуда у ω₀ очень велика, вдали от резонанса — почти как без трения. Большее ζ «размазывает» пик и снижает максимум.

Объясняет ли эта модель обрушение Такомского моста?

Сама по себе — нет. Обрушение 1940 года связано с крутильной модой и аэродинамическими силами (флаттер), а не с резонансом одной изгибной моды на частоте шагов. Урок всё же тот же: не стоит длительно качать конструкцию на её собственной частоте.

Резонанс моста (одномерная мода)

Одна изгибная мода пролёта как затухающий осциллятор: развёртка частоты возбуждения ω около √(k/m). Заготовки «шаг» и малое ζ.

Одна модальная степень (упрощение)

Модальная масса m24000 kg

Жёсткость k4200000 N/m

Демпфирование b12000 N·s/m

Амплитуда силы F₀28000 N

Угловая частота возбуждения ω0.55 rad/s

Начальные условия

x(0)0 m

v(0)0 m/s

Жёлтые стрелки: гармоническое возбуждение в фазе (идеализация). Реальный строевой шаг — серия импульсов; ветер может возбуждать кручение и флаттер — одна SDOF-синусоида этого не описывает.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — пуск
R — сброс

Измеренные величины

ω₀ = √(k/m)13.2288 rad/s

f₀ = ω₀/(2π)2.1054 Hz

Коэффициент затухания ζ0.0189

Теор. установившаяся A(ω)0.00668 m

≈ амплитуда (последние циклы)0.00000 m

x0.0000 m

t0.00 s

Графики

О модели

Одна изгибная мода пролёта моста аппроксимируется как демпфированный гармонический осциллятор. Синусоидальная сила моделирует узкополосную нагрузку — учебная модель для ритмичной пешеходной нагрузки или упрощённого ветрового воздействия. Установившаяся амплитуда в зависимости от частоты возбуждения показывает резонансный пик вблизи собственной частоты моды; коэффициент демпфирования ζ определяет ширину и высоту пика.

Для кого: Вводный курс по колебаниям и динамике сооружений; определение собственной частоты f₀ и сравнение с частотой возбуждения.

Ключевые понятия

резонанс
собственная частота моды
коэффициент демпфирования
гармоническое возбуждение
установившаяся амплитуда

Как это работает

Пролёт заменён одной изгибной модой: mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt). Собственная частота ω₀ = √(k/m); установившаяся амплитуда A(ω) имеет пик вблизи ω₀, тем острее, чем меньше ζ = b/(2√(km)). На экране — прогиб и график x(t). Ритм шагов и ветер здесь — просто гармоника; кручение и флаттер не входят.

Основные формулы

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt), ω₀² = k/m

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) — пик по форме Лоренца при ζ ≪ 1

Часто задаваемые вопросы

Почему амплитуда максимальна, когда частота возбуждения близка к √(k/m)?: Это резонанс: вынуждающая сила всё время подкачивает энергию в такт собственной моде. Установившаяся амплитуда A(ω) имеет пик вблизи ω₀ = √(k/m); чем меньше затухание, тем острее и выше пик.
Что делает коэффициент затухания ζ?: Он задаёт ширину и высоту резонансного пика. При малом ζ амплитуда у ω₀ очень велика, вдали от резонанса — почти как без трения. Большее ζ «размазывает» пик и снижает максимум.
Объясняет ли эта модель обрушение Такомского моста?: Сама по себе — нет. Обрушение 1940 года связано с крутильной модой и аэродинамическими силами (флаттер), а не с резонансом одной изгибной моды на частоте шагов. Урок всё же тот же: не стоит длительно качать конструкцию на её собственной частоте.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные