Pourquoi l’amplitude est-elle maximale quand la pulsation d’excitation est proche de √(k/m) ?

C’est la résonance : la force excitatrice alimente l’énergie en cadence avec le mode propre. L’amplitude en régime permanent A(ω) a un pic près de ω₀ = √(k/m) ; plus l’amortissement est faible, plus le pic est aigu et haut.

Que fait le facteur d’amortissement ζ ?

Il fixe la largeur et la hauteur du pic de résonance. Pour un petit ζ, l’amplitude près de ω₀ est très grande ; loin de la résonance, on est presque comme sans frottement. Un ζ plus grand « étale » le pic et abaisse le maximum.

Ce modèle explique-t-il l’effondrement du pont de Tacoma ?

À lui seul, non. L’effondrement de 1940 met en jeu un mode de torsion et des forces aérodynamiques (flottement), et non la résonance d’un seul mode de flexion à la cadence des pas. La leçon reste la même : il ne faut pas entretenir longtemps une structure sur sa fréquence propre.

Résonance d’un pont (un mode)

Un mode de flexion de la travée comme oscillateur amorti : balayage de la pulsation d’excitation ω autour de √(k/m). Jeux de paramètres « pas » et petit ζ.

Un seul degré modal (simplification)

Masse modale m24000 kg

Raideur k4200000 N/m

Amortissement b12000 N·s/m

Amplitude de la force F₀28000 N

Pulsation d’excitation ω0.55 rad/s

Conditions initiales

x(0)0 m

v(0)0 m/s

Flèches jaunes : excitation harmonique en phase (idéalisation). Un pas cadencé réel est une suite d’impulsions ; le vent peut exciter la torsion et le flottement — une sinusoïde à un seul degré de liberté ne le décrit pas.

Raccourcis clavier

Espace ou Entrée — démarrer
R — réinitialisation

Mesures

ω₀ = √(k/m)13.2288 rad/s

f₀ = ω₀/(2π)2.1054 Hz

Facteur d’amortissement ζ0.0189

A(ω) théorique en régime permanent0.00668 m

≈ amplitude (derniers cycles)0.00000 m

x0.0000 m

t0.00 s

Graphiques

À propos du modèle

La résonance d’un pont, pour un seul mode de flexion de la travée, se ramène à un oscillateur harmonique amorti. Une force sinusoïdale représente une charge à bande étroite — modèle scolaire d’une charge piétonne rythmée ou d’un vent simplifié. L’amplitude en régime permanent en fonction de la pulsation d’excitation montre un pic de résonance près de la fréquence propre du mode ; le facteur d’amortissement ζ fixe la largeur et la hauteur du pic.

Public : Cours d’introduction aux oscillations et à la dynamique des structures ; lecture de la fréquence propre f₀ et comparaison avec la fréquence d’excitation.

Notions clés

résonance
fréquence propre du mode
facteur d’amortissement
excitation harmonique
amplitude en régime permanent

Comment ça marche

La travée est remplacée par un seul mode de flexion : mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt). Fréquence propre ω₀ = √(k/m) ; l’amplitude en régime permanent A(ω) a un pic près de ω₀, d’autant plus aigu que ζ = b/(2√(km)) est petit. À l’écran : flèche et graphe x(t). Le rythme des pas et le vent sont ici une simple harmonique ; torsion et flottement n’entrent pas.

Formules

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt), ω₀² = k/m

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) — pic de forme lorentzienne pour ζ ≪ 1

Questions fréquentes

Pourquoi l’amplitude est-elle maximale quand la pulsation d’excitation est proche de √(k/m) ?: C’est la résonance : la force excitatrice alimente l’énergie en cadence avec le mode propre. L’amplitude en régime permanent A(ω) a un pic près de ω₀ = √(k/m) ; plus l’amortissement est faible, plus le pic est aigu et haut.
Que fait le facteur d’amortissement ζ ?: Il fixe la largeur et la hauteur du pic de résonance. Pour un petit ζ, l’amplitude près de ω₀ est très grande ; loin de la résonance, on est presque comme sans frottement. Un ζ plus grand « étale » le pic et abaisse le maximum.
Ce modèle explique-t-il l’effondrement du pont de Tacoma ?: À lui seul, non. L’effondrement de 1940 met en jeu un mode de torsion et des forces aérodynamiques (flottement), et non la résonance d’un seul mode de flexion à la cadence des pas. La leçon reste la même : il ne faut pas entretenir longtemps une structure sur sa fréquence propre.

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