Warum ist die Amplitude maximal, wenn die Erregerfrequenz nahe bei √(k/m) liegt?

Das ist Resonanz: die Erregerkraft speist dauernd Energie im Takt der Eigenmode. Die stationäre Amplitude A(ω) hat ein Maximum nahe ω₀ = √(k/m); je kleiner die Dämpfung, desto schärfer und höher der Peak.

Was bewirkt der Dämpfungsgrad ζ?

Er legt Breite und Höhe des Resonanzpeaks fest. Bei kleinem ζ ist die Amplitude bei ω₀ sehr groß, fern der Resonanz fast wie ohne Reibung. Größeres ζ verbreitert den Peak und senkt das Maximum.

Erklärt dieses Modell den Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke?

Für sich genommen nein. Der Einsturz 1940 hängt mit einer Torsionsmode und aerodynamischen Kräften (Flattern) zusammen, nicht mit der Resonanz einer einzigen Biegemode auf der Schrittfrequenz. Die Lehre bleibt dieselbe: man soll eine Konstruktion nicht lange auf ihrer Eigenfrequenz anregen.

Brückenresonanz (eine Mode)

Eine Biegemode des Feldes als gedämpfter Oszillator: Sweep der Erregerkreisfrequenz ω um √(k/m). Voreinstellungen „Schritt“ und kleines ζ.

Diagramme

Zum Modell

Die Brückenresonanz einer einzigen Biegemode des Feldes wird als gedämpfter harmonischer Oszillator angenähert. Eine Sinuskraft steht für eine schmalbandige Last — schulisch für rhythmische Fußgängerlast oder vereinfachten Wind. Die stationäre Amplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz zeigt einen Resonanzpeak nahe der Eigenfrequenz der Mode; der Dämpfungsgrad ζ bestimmt Breite und Höhe des Peaks.

Für wen: Einführung in Schwingungen und Baudynamik; Eigenfrequenz f₀ ablesen und mit der Erregerfrequenz vergleichen.

Wichtige Begriffe

Resonanz
Eigenfrequenz der Mode
Dämpfungsgrad
harmonische Erregung
stationäre Amplitude

So funktioniert es

Das Feld ist durch eine Biegemode ersetzt: mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt). Eigenkreisfrequenz ω₀ = √(k/m); die stationäre Amplitude A(ω) hat ein Maximum nahe ω₀, umso schärfer, je kleiner ζ = b/(2√(km)). Auf dem Bildschirm: Durchbiegung und Graph x(t). Schrittrhythmus und Wind sind hier nur eine Harmonische; Torsion und Flattern gehören nicht dazu.

Wichtige Gleichungen

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt), ω₀² = k/m

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) — Peak von Lorentz-Form bei ζ ≪ 1

Häufige Fragen

Warum ist die Amplitude maximal, wenn die Erregerfrequenz nahe bei √(k/m) liegt?: Das ist Resonanz: die Erregerkraft speist dauernd Energie im Takt der Eigenmode. Die stationäre Amplitude A(ω) hat ein Maximum nahe ω₀ = √(k/m); je kleiner die Dämpfung, desto schärfer und höher der Peak.
Was bewirkt der Dämpfungsgrad ζ?: Er legt Breite und Höhe des Resonanzpeaks fest. Bei kleinem ζ ist die Amplitude bei ω₀ sehr groß, fern der Resonanz fast wie ohne Reibung. Größeres ζ verbreitert den Peak und senkt das Maximum.
Erklärt dieses Modell den Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke?: Für sich genommen nein. Der Einsturz 1940 hängt mit einer Torsionsmode und aerodynamischen Kräften (Flattern) zusammen, nicht mit der Resonanz einer einzigen Biegemode auf der Schrittfrequenz. Die Lehre bleibt dieselbe: man soll eine Konstruktion nicht lange auf ihrer Eigenfrequenz anregen.

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