Por que a amplitude é máxima quando a frequência de excitação está perto de √(k/m)?

É a ressonância: a força excitadora injeta energia no ritmo do modo próprio. A amplitude em regime permanente A(ω) tem um pico perto de ω₀ = √(k/m); quanto menor o amortecimento, mais agudo e mais alto o pico.

O que faz a razão de amortecimento ζ?

Ela fixa a largura e a altura do pico de ressonância. Com ζ pequeno a amplitude junto de ω₀ é muito grande; longe da ressonância, quase como sem atrito. Um ζ maior «alarga» o pico e baixa o máximo.

Este modelo explica o desabamento da ponte de Tacoma?

Sozinho, não. O desabamento de 1940 liga-se a um modo de torção e a forças aerodinâmicas (oscilação aeroelástica), não à ressonância de um só modo de flexão na frequência do passo. A lição continua a mesma: não convém agitar por muito tempo uma estrutura na sua frequência natural.

Ressonância de uma ponte (um modo)

Um modo de flexão do vão como oscilador amortecido: varredura da frequência de excitação ω perto de √(k/m). Casos de «passo» e ζ pequeno.

Um grau modal (simplificação)

Massa modal m24000 kg

Rigidez k4200000 N/m

Amortecimento b12000 N·s/m

Amplitude da força F₀28000 N

Frequência angular de excitação ω0.55 rad/s

Condições iniciais

x(0)0 m

v(0)0 m/s

Setas amarelas: excitação harmônica em fase (idealização). O passo real é uma série de impulsos; o vento pode excitar torção e oscilação aeroelástica — uma senoidal de um só grau de liberdade não descreve isso.

Atalhos de teclado

Espaço ou Enter — iniciar
R — reiniciar

Grandezas medidas

ω₀ = √(k/m)13.2288 rad/s

f₀ = ω₀/(2π)2.1054 Hz

Razão de amortecimento ζ0.0189

A(ω) teórica em regime permanente0.00668 m

≈ amplitude (últimos ciclos)0.00000 m

x0.0000 m

t0.00 s

Gráficos

Sobre o modelo

A ressonância de uma ponte, num único modo de flexão do vão, aproxima-se como oscilador harmônico amortecido. Uma força senoidal modela uma carga de banda estreita: esquema escolar do passo rítmico de pedestres ou de um vento simplificado. A amplitude em regime permanente em função da frequência de excitação mostra um pico de ressonância perto da frequência natural do modo; a razão de amortecimento ζ fixa a largura e a altura do pico.

Para quem: Curso introdutório de oscilações e dinâmica das estruturas; leitura da frequência natural f₀ e comparação com a de excitação.

Conceitos-chave

ressonância
frequência natural do modo
razão de amortecimento
excitação harmônica
amplitude em regime permanente

Como funciona

O vão é substituído por um modo de flexão: mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt). Frequência natural ω₀ = √(k/m); a amplitude em regime permanente A(ω) tem um pico perto de ω₀, mais agudo quanto menor for ζ = b/(2√(km)). Na tela: flecha e gráfico x(t). O ritmo do passo e o vento são aqui uma harmônica simples; não entram a torção nem a oscilação aeroelástica.

Fórmulas principais

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt), ω₀² = k/m

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) — pico tipo Lorentz quando ζ ≪ 1

Perguntas frequentes

Por que a amplitude é máxima quando a frequência de excitação está perto de √(k/m)?: É a ressonância: a força excitadora injeta energia no ritmo do modo próprio. A amplitude em regime permanente A(ω) tem um pico perto de ω₀ = √(k/m); quanto menor o amortecimento, mais agudo e mais alto o pico.
O que faz a razão de amortecimento ζ?: Ela fixa a largura e a altura do pico de ressonância. Com ζ pequeno a amplitude junto de ω₀ é muito grande; longe da ressonância, quase como sem atrito. Um ζ maior «alarga» o pico e baixa o máximo.
Este modelo explica o desabamento da ponte de Tacoma?: Sozinho, não. O desabamento de 1940 liga-se a um modo de torção e a forças aerodinâmicas (oscilação aeroelástica), não à ressonância de um só modo de flexão na frequência do passo. A lição continua a mesma: não convém agitar por muito tempo uma estrutura na sua frequência natural.

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