¿Por qué la amplitud es máxima cuando la frecuencia de excitación está cerca de √(k/m)?

Es la resonancia: la fuerza impulsora inyecta energía al ritmo del modo propio. La amplitud estacionaria A(ω) tiene un pico cerca de ω₀ = √(k/m); cuanto menor es el amortiguamiento, más agudo y más alto el pico.

¿Qué hace la razón de amortiguamiento ζ?

Fija el ancho y la altura del pico de resonancia. Con ζ pequeño la amplitud junto a ω₀ es muy grande; lejos de la resonancia, casi como sin fricción. Un ζ mayor «ensancha» el pico y baja el máximo.

¿Explica este modelo el derrumbe del puente de Tacoma?

Por sí solo, no. El derrumbe de 1940 se liga a un modo de torsión y a fuerzas aerodinámicas (flameo), no a la resonancia de un solo modo flexional a la frecuencia del paso. La lección sigue siendo la misma: no conviene agitar largo tiempo una estructura en su frecuencia propia.

Resonancia de un puente (un modo)

Un modo flexional del tramo como oscilador amortiguado: barrido de la frecuencia de excitación ω cerca de √(k/m). Casos de «paso» y ζ pequeño.

Gráficas

Sobre el modelo

Un modo flexional del tramo de un puente se aproxima como oscilador armónico amortiguado. Una fuerza senoidal modela una carga de banda estrecha: esquema escolar del paso rítmico de peatones o de un viento simplificado. La amplitud estacionaria frente a la frecuencia de excitación muestra un pico de resonancia cerca de la frecuencia propia del modo; la razón de amortiguamiento ζ fija el ancho y la altura del pico.

Para quién: Curso introductorio de oscilaciones y dinámica de estructuras; lectura de la frecuencia propia f₀ y comparación con la de excitación.

Conceptos clave

resonancia
frecuencia propia del modo
razón de amortiguamiento
excitación armónica
amplitud estacionaria

Cómo funciona

El tramo se sustituye por un modo flexional: mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt). Frecuencia propia ω₀ = √(k/m); la amplitud estacionaria A(ω) tiene un pico cerca de ω₀, más agudo cuanto menor es ζ = b/(2√(km)). En pantalla: flecha y gráfica x(t). El ritmo del paso y el viento son aquí una simple armonía; no entran la torsión ni el flameo.

Fórmulas principales

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt), ω₀² = k/m

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) — pico tipo Lorentz cuando ζ ≪ 1

Preguntas frecuentes

¿Por qué la amplitud es máxima cuando la frecuencia de excitación está cerca de √(k/m)?: Es la resonancia: la fuerza impulsora inyecta energía al ritmo del modo propio. La amplitud estacionaria A(ω) tiene un pico cerca de ω₀ = √(k/m); cuanto menor es el amortiguamiento, más agudo y más alto el pico.
¿Qué hace la razón de amortiguamiento ζ?: Fija el ancho y la altura del pico de resonancia. Con ζ pequeño la amplitud junto a ω₀ es muy grande; lejos de la resonancia, casi como sin fricción. Un ζ mayor «ensancha» el pico y baja el máximo.
¿Explica este modelo el derrumbe del puente de Tacoma?: Por sí solo, no. El derrumbe de 1940 se liga a un modo de torsión y a fuerzas aerodinámicas (flameo), no a la resonancia de un solo modo flexional a la frecuencia del paso. La lección sigue siendo la misma: no conviene agitar largo tiempo una estructura en su frecuencia propia.

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