Почему у двух масс ровно две нормальные моды?

Столько же, сколько степеней свободы: две массы, каждая движется вдоль одной оси. Любое другое движение — линейная комбинация симметричной и антисимметричной мод.

Что такое биения?

Медленные «переливы» энергии, когда одновременно возбуждены две моды с близкими частотами. Если сдвинуть одну массу, а другую оставить в покое, включаются обе моды; частота биений |ωₐ − ωₛ|.

Как получить только одну моду?

Сдвиньте обе массы одинаково — средняя пружина не работает, остаётся ωₛ. Сдвиньте их навстречу на одну величину — возбудится в основном ωₐ. Заготовки в панели как раз так и ставят начальные условия.

Где ещё бывают связанные колебания?

Два маятника на общей пружине, атомы в решётке, связанные колебательные контуры, связи в молекуле. Нормальные моды — общий язык таких систем.

Связанные колебания

Две массы и три пружины: нормальные моды ωₛ, ωₐ и биения.

Пружины и массы

Масса m (каждая)1.2 kg

Внешняя пружина k28 N/m

Связующая пружина K14 N/m

Начальные условия

Смещение x₁(0)0.1 m

Смещение x₂(0)0.1 m

v₁(0)0 m/s

v₂(0)0 m/s

Симметричное начальное (1,1) возбуждает в основном ωₛ (в этой моде средняя пружина не растянута). (1,−1) даёт ωₐ. Несимметричный старт смешивает обе моды — энергия «переливается» (биения).

Горячие клавиши

Пробел или Enter — запуск
R — сброс

Измеренные величины

ω_sym = √(k/m)4.8305rad/s

ω_anti = √((k+2K)/m)6.8313rad/s

T_sym1.301s

T_anti0.920s

x₁0.1000m

x₂0.1000m

t0.00s

Графики

О модели

Связанные колебания — две одинаковые массы между двумя внешними пружинами жёсткости k и средней пружиной жёсткости K. Уравнения: mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂), mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁). Движение раскладывается на нормальные моды: симметричную (массы вместе, средняя пружина не деформирована) с частотой ωₛ = √(k/m) и антисимметричную (навстречу друг другу) с ωₐ = √((k + 2K)/m). Если все три пружины одинаковы (K = k), получается привычное ωₐ = √(3k/m). Произвольный старт — суперпозиция мод; при близких частотах видны биения: энергия медленно перекачивается от одной массы к другой. Пружины гуковские, затухания нет, движение одномерное.

Для кого: Школа (углублённо) и первый курс: нормальные моды, биения, связанные колебания двух грузиков.

Ключевые понятия

связанные колебания
нормальные моды
биения
закон Гука
симметричная мода
антисимметричная мода
суперпозиция

Как это работает

Две одинаковые массы стоят между крайними пружинами жёсткости k и связаны средней пружиной K. Нормальные частоты: ωₛ = √(k/m) (массы вместе) и ωₐ = √((k + 2K)/m) (навстречу). Произвольный старт — суперпозиция мод; на графиках x₁(t) и x₂(t) видны биения.

Основные формулы

mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂) · mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁)

ωₛ = √(k/m) · ωₐ = √((k + 2K)/m)

Часто задаваемые вопросы

Почему у двух масс ровно две нормальные моды?: Столько же, сколько степеней свободы: две массы, каждая движется вдоль одной оси. Любое другое движение — линейная комбинация симметричной и антисимметричной мод.
Что такое биения?: Медленные «переливы» энергии, когда одновременно возбуждены две моды с близкими частотами. Если сдвинуть одну массу, а другую оставить в покое, включаются обе моды; частота биений |ωₐ − ωₛ|.
Как получить только одну моду?: Сдвиньте обе массы одинаково — средняя пружина не работает, остаётся ωₛ. Сдвиньте их навстречу на одну величину — возбудится в основном ωₐ. Заготовки в панели как раз так и ставят начальные условия.
Где ещё бывают связанные колебания?: Два маятника на общей пружине, атомы в решётке, связанные колебательные контуры, связи в молекуле. Нормальные моды — общий язык таких систем.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные