Почему амплитуда в конце становится постоянной, хотя есть затухание?

Затухание отбирает энергию, но вынуждающая сила её подводит. После переходного процесса за цикл приходит столько же энергии, сколько уходит на трение — амплитуда больше не растёт и не падает.

Чем собственная частота отличается от резонансной?

Собственная частота ω₀ = √(k/m) — частота свободных колебаний без затухания и без внешней силы. Резонансная — та частота силы, при которой амплитуда установившихся колебаний максимальна. При слабом затухании они почти совпадают; при сильном резонанс чуть ниже ω₀.

Как затухание меняет резонансную кривую?

Больший коэффициент b делает пик ниже и шире: система откликается в более широкой полосе частот, но максимальная амплитуда меньше. Слабое затухание даёт высокий узкий резонанс.

Это та же физика, что у качелей?

Да: качели имеют собственную частоту, сопротивление воздуха даёт затухание, толчки — периодическую вынуждающую силу. Чтобы раскачать сильнее, толкают в такт. В модели сила — идеальный косинус, в жизни — короткий импульс, но резонанс тот же.

Вынужденные колебания

Вынужденные затухающие колебания: переходные процессы и резонансная кривая A(ω).

Осциллятор и нагрузка

Масса m1.5 kg

Пружина k24 N/m

Затухание b0.45 N·s/m

Амплитуда силы F₀2.8 N

Угловая частота нагрузки ω3.8 rad/s

Начальные условия

x(0)0 m

v(0)0 m/s

После переходных процессов амплитуда следует кривой резонанса (врезка). Розовая метка: текущая ω и аналитическая установившаяся амплитуда. Сравните с оценкой «половина пик–половина впадина» по последним ~2 с x(t).

Горячие клавиши

Пробел или Enter — запуск
R — сброс

Измеренные величины

ω₀ = √(k/m)4.0000rad/s

Коэффициент затухания ζ = b/(2√mk)0.0375

Установившаяся амплитуда A(ω) (теория)0.96611m

≈ амплитуда по последним циклам0.00000m

x0.0000m

t0.00s

Графики

О модели

Вынужденные колебания — колебания грузика на пружине под внешней периодической силой при наличии затухания. Уравнение движения: mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ω t). Сначала видно переходный процесс (зависит от начальных условий и затухает), затем установившиеся колебания на частоте вынуждающей силы с амплитудой A(ω) и сдвигом фазы. Резонансная кривая A(ω) имеет максимум вблизи собственной частоты ω₀ = √(k/m); затухание снижает и уширяет пик. Модель линейная: вязкое сопротивление −bv и идеальная гармоническая сила.

Для кого: Школа (колебания) и первый курс: резонанс, собственная частота, переходный и установившийся режимы.

Ключевые понятия

вынужденные колебания
резонанс
вынуждающая сила
собственная частота
резонансная кривая
затухание
установившиеся колебания

Как это работает

Грузик на пружине с затуханием под силой F₀ cos(ωt): сначала переходный процесс, затем установившиеся колебания на частоте силы. Амплитуда A(ω) максимальна вблизи ω₀ = √(k/m); затухание снижает и уширяет пик. На врезке — резонансная кривая, на основном графике — x(t).

Основные формулы

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt)

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) · ω₀² = k/m

Часто задаваемые вопросы

Почему амплитуда в конце становится постоянной, хотя есть затухание?: Затухание отбирает энергию, но вынуждающая сила её подводит. После переходного процесса за цикл приходит столько же энергии, сколько уходит на трение — амплитуда больше не растёт и не падает.
Чем собственная частота отличается от резонансной?: Собственная частота ω₀ = √(k/m) — частота свободных колебаний без затухания и без внешней силы. Резонансная — та частота силы, при которой амплитуда установившихся колебаний максимальна. При слабом затухании они почти совпадают; при сильном резонанс чуть ниже ω₀.
Как затухание меняет резонансную кривую?: Больший коэффициент b делает пик ниже и шире: система откликается в более широкой полосе частот, но максимальная амплитуда меньше. Слабое затухание даёт высокий узкий резонанс.
Это та же физика, что у качелей?: Да: качели имеют собственную частоту, сопротивление воздуха даёт затухание, толчки — периодическую вынуждающую силу. Чтобы раскачать сильнее, толкают в такт. В модели сила — идеальный косинус, в жизни — короткий импульс, но резонанс тот же.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные