Почему след груза так запутан, хотя сил всего две?

Качание и растяжение — разные степени свободы, и они связаны: при отклонении меняется длина, при растяжении — момент силы тяжести. Консервативная система может не быть хаотической в строгом смысле, но траектории очень чувствительны к начальным условиям и выглядят нерегулярно.

Чем это отличается от математического маятника?

У математического маятника длина нити фиксирована, остаётся один угол. Здесь пружина растягивается, появляется радиальная координата r, и две моды обмениваются энергией.

Сохраняется ли механическая энергия?

При нулевом демпфировании — да: сумма кинетической, упругой и гравитационной потенциальной постоянна. Слабое затухание медленно уводит энергию; на графике это видно по полной E.

Пружинный маятник

Упругий маятник в плоскости: качание и растяжение пружины связаны, энергия переходит между модами. Заготовки с почти нерегулярной траекторией.

Масса m1.2 kg

Жёсткость k28 N/m

Длина покоя L₀0.85 m

g9.81 m/s²

Демпфирование c0.04 N·s/m

Начальный θ (от вертикали)18 °

Начальный r1.05 m

Начальный θ̇ (качание)0.35 rad/s

Начальный ṙ0 m/s

Показывать след траектории

θ отсчитывается от направления вниз по вертикали; x = r sin θ, y = r cos θ. Обмен энергией между качанием и растяжением пружины даёт траектории вроде Лиссажу; часть начальных данных выглядит хаотично.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — старт
R — стоп

Измеренные величины

КЭ0.000 J

ПЭ0.000 J

E полная0.000 J

Вертикальное равновесие r1.270 m

√(k/m) (радиальный масштаб)4.830 rad/s

Графики

О модели

Пружинный (упругий) маятник — материальная точка на пружине Гука с недеформированной длиной L₀, подвешенная в вертикальной плоскости. Есть две связанные степени свободы: качание и растяжение. Сила упругости −k(r − L₀) направлена к точке подвеса, сила тяжести — вертикально. Энергия переходит между гравитационной потенциальной, упругой и кинетической; траектории часто похожи на фигуры Лиссажу, при некоторых начальных условиях картина выглядит нерегулярной. Слабое демпфирование можно включить; изгиб пружины и удары о опору не учитываются.

Для кого: Первый курс и теория колебаний: связанные степени свободы, закон Гука, обмен энергией между модами.

Ключевые понятия

закон Гука
упругий маятник
связанные колебания
фигуры Лиссажу
начальные условия

Как это работает

Груз на невесомой пружине в вертикальной плоскости: mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ (ось y вниз). Радиальная и угловая степени свободы связаны, поэтому след — не эллипс и не окружность. Графики r(t) и θ(t) показывают обмен между модами. При слабом затухании полная механическая энергия почти сохраняется.

Основные формулы

mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ, r = √(x² + y²)

U = ½k(r − L₀)² − mgy (y вниз от крепления); «хаос» чувствителен к НУ, не к шуму интегратора.

Часто задаваемые вопросы

Почему след груза так запутан, хотя сил всего две?: Качание и растяжение — разные степени свободы, и они связаны: при отклонении меняется длина, при растяжении — момент силы тяжести. Консервативная система может не быть хаотической в строгом смысле, но траектории очень чувствительны к начальным условиям и выглядят нерегулярно.
Чем это отличается от математического маятника?: У математического маятника длина нити фиксирована, остаётся один угол. Здесь пружина растягивается, появляется радиальная координата r, и две моды обмениваются энергией.
Сохраняется ли механическая энергия?: При нулевом демпфировании — да: сумма кинетической, упругой и гравитационной потенциальной постоянна. Слабое затухание медленно уводит энергию; на графике это видно по полной E.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные