Pourquoi une différence finie plutôt qu’une dérivée symbolique ?

La dérivation symbolique est commode quand on l’a ; ici l’important est la souplesse : toute expression que l’on peut tracer se prête tout de suite à Newton. Le prix est l’erreur sur f′ et d’éventuels ratés près d’une tangente presque horizontale.

Pourquoi la méthode « casse » pour certains départs ?

Il n’y a pas de convergence globale : si f′ est petite et f notable, le point suivant peut s’envoler loin. Sur un palier, l’arrêt « dérivée presque nulle » se déclenche. Pour une f oscillante, des cycles sans amortissement sont possibles.

En quoi cela diffère-t-il de la fractale de Newton du site ?

Là, on colore le plan complexe : quelle racine complexe attire z₀ sous z − p(z)/p′(z). Ici, la géométrie réelle : graphe de f, tangentes et déplacement sur l’axe des x.

Voit-on la convergence quadratique ?

Seulement qualitativement : près d’une racine simple et d’un bon x₀, la hauteur |f(xₙ)| chute très vite. Les ordres exacts ne sont pas déduits ; regardez les colonnes f et Δx du tableau aux derniers pas.

Méthode de Newton (1D)

Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur �Graphe de f(x), un clic fixe x₀, itérations x − f/f′ (dérivée numérique) ; panoramique et cas. Les bassins sur ℂ sont dans l’expérience séparée « fractale de Newton ».

À propos du modèle

La méthode de Newton cherche une racine de f(x) = 0 : au point courant xₙ on linéarise la fonction et on prend l’intersection de la tangente avec l’axe des x comme approximation suivante xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Géométriquement, on s’élève depuis (xₙ, 0) jusqu’au graphe, puis on redescend le long de la tangente. Le graphe y = f(x) est tracé d’après une expression ; x₀ se fixe par un clic (un léger glissement fait un panoramique). La dérivée est une différence finie centrée, pour essayer diverses f sans différencier à la main. Il y a des cas, une échelle en x, un curseur x₀, une limite d’itérations et un journal des pas. Arrêts : |f| petit, pas |Δx| petit, f′ presque nulle, valeurs non numériques et divergence. Dans le plan complexe, les bassins des racines sont dans l’expérience séparée « fractale de Newton ».

Public : Analyse et bases des méthodes numériques : linéarisation, sensibilité au départ ; comparaison avec les bassins d’attraction complexes.

Notions clés

méthode de Newton
tangente
linéarisation
recherche de racine
dérivée par différences finies
convergence quadratique
bassin d’attraction

Comment ça marche

Méthode de Newton : xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) — intersection de la tangente au graphe y = f(x) avec l’axe x. Ici f′ est une différence finie ; un clic fixe x₀. Dans le plan complexe, les bassins des racines sont dans l’expérience séparée « fractale de Newton ».

Questions fréquentes

Pourquoi une différence finie plutôt qu’une dérivée symbolique ?: La dérivation symbolique est commode quand on l’a ; ici l’important est la souplesse : toute expression que l’on peut tracer se prête tout de suite à Newton. Le prix est l’erreur sur f′ et d’éventuels ratés près d’une tangente presque horizontale.
Pourquoi la méthode « casse » pour certains départs ?: Il n’y a pas de convergence globale : si f′ est petite et f notable, le point suivant peut s’envoler loin. Sur un palier, l’arrêt « dérivée presque nulle » se déclenche. Pour une f oscillante, des cycles sans amortissement sont possibles.
En quoi cela diffère-t-il de la fractale de Newton du site ?: Là, on colore le plan complexe : quelle racine complexe attire z₀ sous z − p(z)/p′(z). Ici, la géométrie réelle : graphe de f, tangentes et déplacement sur l’axe des x.
Voit-on la convergence quadratique ?: Seulement qualitativement : près d’une racine simple et d’un bon x₀, la hauteur |f(xₙ)| chute très vite. Les ordres exacts ne sont pas déduits ; regardez les colonnes f et Δx du tableau aux derniers pas.

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