Почему у заготовки «синус» один высокий столбец?

Если синус укладывается в целое число периодов ровно в N отсчётах, его энергия совпадает с одним базисным вектором ДПФ (плюс зеркало при k и N−k). Пик узкий. Если нарисовать «почти синус» с дробным числом периодов, энергия размазывается по соседним бинам — утечка из‑за неявного прямоугольного окна.

Почему у импульса спектр широкий, а не один шип?

Один ненулевой отсчёт — дискретный аналог очень короткого импульса. Короткая локализация по времени даёт широкий спектр. Наоборот, узкополосный тон требует многих колебаний в окне — та же взаимность длительности и полосы, что у непрерывного преобразования.

Столбцы — это мощность или амплитуда?

Показан модуль комплексного коэффициента: |X[k]| = √(Re² + Im²). Высота нормирована на максимум; абсолютные значения постоянной составляющей, доминирующего k и Найквиста — в боковой панели.

Что такое частота Найквиста на этом графике?

Последний бин k = N/2. Выше неё гармоники на этой сетке неотличимы от более низких (наложение спектров). Для вещественного сигнала спектр симметричен, поэтому показывают только 0 … N/2.

Спектр FFT

Нарисуйте или выберите заготовку на 256 отсчётов; FFT по основанию 2 — |X[k]| по бинам от постоянной составляющей до частоты Найквиста.

О модели

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) показывает, какая доля каждой синусоидальной частоты есть в конечной последовательности отсчётов. Берут N = 256 вещественных отсчётов x[n], считают быстрое преобразование Фурье (БПФ) по основанию 2 и строят модули |X[k]| для бинов k = 0 … N/2: постоянная составляющая, положительные частоты и бин Найквиста. Верхняя панель — сигнал во времени: заготовки (синус с целым числом периодов в окне, два тона, меандр, импульс, шум) или рисунок мышью — буфер в режиме «свой». Столбцы спектра нормированы по максимуму, чтобы сравнивать относительное распределение энергии. Ряд Фурье собирает периодический сигнал из гармоник; здесь — частотный анализ на окне фиксированной длины. Если число периодов в окне не целое, энергия утекает в соседние бины (утечка спектра из‑за неявного прямоугольного окна).

Для кого: Курс сигналов и систем, численные методы или практикум со спектральным анализом; после ряда Фурье — наглядное ДПФ.

Ключевые понятия

дискретное преобразование Фурье
быстрое преобразование Фурье (FFT)
частотный бин
постоянная составляющая
частота Найквиста
амплитудный спектр
утечка спектра

Как это работает

Берут 256 вещественных отсчётов x[n] (заготовка или рисунок по верхней кривой). БПФ даёт X[k]; показаны модули |X[k]| для k = 0 … N/2, включая Найквист. Синус с целым числом периодов в окне собирает энергию в одном бине; короткий импульс растягивает спектр — та же взаимность времени и частоты, что у непрерывного преобразования Фурье.

Основные формулы

X[k] = Σ_{n=0}^{N−1} x[n] · e^{−2π i kn/N}

|X[k]| = √(Re² + Im²) · k = 0 … N/2

Часто задаваемые вопросы

Почему у заготовки «синус» один высокий столбец?: Если синус укладывается в целое число периодов ровно в N отсчётах, его энергия совпадает с одним базисным вектором ДПФ (плюс зеркало при k и N−k). Пик узкий. Если нарисовать «почти синус» с дробным числом периодов, энергия размазывается по соседним бинам — утечка из‑за неявного прямоугольного окна.
Почему у импульса спектр широкий, а не один шип?: Один ненулевой отсчёт — дискретный аналог очень короткого импульса. Короткая локализация по времени даёт широкий спектр. Наоборот, узкополосный тон требует многих колебаний в окне — та же взаимность длительности и полосы, что у непрерывного преобразования.
Столбцы — это мощность или амплитуда?: Показан модуль комплексного коэффициента: |X[k]| = √(Re² + Im²). Высота нормирована на максимум; абсолютные значения постоянной составляющей, доминирующего k и Найквиста — в боковой панели.
Что такое частота Найквиста на этом графике?: Последний бин k = N/2. Выше неё гармоники на этой сетке неотличимы от более низких (наложение спектров). Для вещественного сигнала спектр симметричен, поэтому показывают только 0 … N/2.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

Школьные

Форма и спектр звука

Запустить симулятор

Осциллограмма давления и частотный спектр с микрофона: живой сигнал раскладывается преобразованием Фурье.

ПопулярноеШкольные

Сложение векторов

Запустить симулятор

Два вектора на плоскости: правило треугольника и сложение проекций, модуль и направление равнодействующей.

НовоеУниверситет / научные

Спектрограмма и STFT

Запустить симулятор

Оконное ДПФ скользит по сигналу: чирпы, два тона, вспышки. Длина окна M, шаг и тип окна задают компромисс время–частота.

НовоеШкольные

Метод Ньютона (1D)

Запустить симулятор

График f(x), клик задаёт x₀, итерации x − f/f′ (производная численно); панорама и заготовки. Бассейны на ℂ — отдельный опыт «фрактал Ньютона».

ПопулярноеШкольные

Ряды Фурье

Запустить симулятор

Периодическую функцию раскладывают в сумму гармоник — синусов и косинусов кратных частот. Меняйте число членов и сравнивайте частичную сумму с меандром, пилой или треугольником.

НовоеУниверситет / научные

БИХ-фильтры Баттерворта и Чебышёва

Запустить симулятор

Расчёт ФНЧ и ФВЧ Баттерворта и Чебышёва I/II: |H(f)|, фаза, импульсная характеристика и полюсы–нули на z-плоскости через билинейное преобразование.

Спектр FFT

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Форма и спектр звука

Сложение векторов

Спектрограмма и STFT

Метод Ньютона (1D)

Ряды Фурье

БИХ-фильтры Баттерворта и Чебышёва

Спектр FFT

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы