Спектр (БПФ)
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) показывает, какая доля каждой синусоидальной частоты присутствует в конечной последовательности отсчётов. Симулятор фиксирует N = 256 вещественных отсчётов x[n], вычисляет быстрое преобразование Фурье (БПФ) по основанию 2 и строит модули |X[k]| для бинов k = 0 … N/2: постоянная составляющая, положительные частоты и бин Найквиста. Верхняя панель — сигнал во времени; можно загрузить пресеты (чистый синус с целым числом периодов в окне, смесь двух тонов, ступенчатый меандр, центрированный импульс, равномерный шум) или нарисовать волну мышью — буфер переходит в режим «свой». Столбцы спектра нормированы по максимуму, чтобы сравнивать относительное распределение энергии. Страница «Ряд Фурье» собирает периодический сигнал из гармоник во времени; здесь — дополняющий взгляд: частотный анализ на окне фиксированной длины и путь к непрерывному преобразованию Фурье, к окнам и утечке спектра, если число периодов в окне не целое.
Для кого: Студенты курсов сигналов и систем, численных методов или физического практикума со спектральным анализом; тем, кто уже видел ряд Фурье и хочет наглядную картину ДПФ.
Ключевые понятия
- ДПФ
- БПФ
- Частотный бин
- Постоянная составляющая
- Частота Найквиста
- Амплитудный спектр
- Время и частота
- Утечка спектра
Как это работает
Берётся 256 вещественных отсчётов x[n] (пресет или рисунок по верхней кривой). БПФ даёт X[k]; показаны модули |X[k]| для k = 0 … N/2, включая Найквист. Синус с целым числом периодов в окне концентрирует энергию в одном бине; короткий импульс растягивает спектр — та же идея неопределённости времени и частоты, что и у непрерывного преобразования Фурье.
Основные формулы
Часто задаваемые вопросы
- Почему у пресета «синус» один высокий столбец?
- Если синус укладывается в целое число полных периодов ровно в N отсчётах, его энергия совпадает с одним базисным вектором ДПФ (плюс зеркало при k и N−k). Пик узкий. Если нарисовать «почти синус» с дробным числом периодов, энергия размазывается по соседним бинам — пример утечки из‑за неявного прямоугольного окна.
- Почему у импульса спектр широкий, а не один шип?
- Один ненулевой отсчёт — дискретный аналог очень короткого импульса. В частотной области короткая локализация по времени влечёт широкий спектр. Наоборот, узкополосный тон по частоте требует многих колебаний в окне — та же взаимность длительности и полосы, что у непрерывного преобразования.
- Зелёные столбцы — мощность, амплитуда или что-то ещё?
- Показан модуль комплексного коэффициента: |X[k]| = √(Re² + Im²). Для сравнения бинов высота масштабируется к максимуму; абсолютные значения постоянной, доминирующего k и Найквиста — в боковой панели.
- Это замена библиотеке БПФ для инженерных расчётов?
- Нет. Учебный БПФ фиксированной длины, без выбора окна (кроме неявного прямоугольника), без дополнения нулями и без графика фазы. Реальные анализаторы спектра добавляют окна, перекрытие, калибровку и часто аппаратное ускорение.
Ещё из «Визуализация математики»
Другие симуляторы в этой категории — или все 33.
Фазовый портрет (2D ОДУ)
Поле направлений и траектории по клику: гармоника, затухание, седло, узлы, фокусы, маятник (РК4).
Кривые Лиссажу
Красивые узоры, возникающие из двух частот с регулируемым соотношением.
Гармонограф
Две затухающие гармонические суммы по x и y: затухающая розетка против фигур Лиссажу.
Спирограф (Трохоиды)
Гипо- или эпитрохоида: фиксированный R, катящийся r, перо d; цветная траектория и подсказки о периоде.
SIR-модель эпидемии
S + I + R = 1: βSI и γI; ℛ₀ ≈ β/γ, порог стада 1 − 1/ℛ₀; график по времени RK4.
Песчаная куча (SOC)
Абелева модель BTW: добавление зёрен, ≥4 – обрушение на соседей; критические лавины.