Por que diferença finita, e não a derivada simbólica?

A diferenciação simbólica é cômoda quando existe; aqui importa a flexibilidade: qualquer expressão que se possa desenhar já se pode passar pelo método de Newton. O preço é o erro em f′ e possíveis falhas perto de uma tangente quase horizontal.

Por que o método «quebra» em alguns pontos de partida?

Não há convergência global: se f′ é pequena e f não é, o próximo ponto pode ir longe. Em trechos planos dispara a parada «derivada quase nula». Para f oscilantes pode haver ciclos se não houver amortecimento.

Em que isso difere do fractal de Newton do site?

Lá se colore o plano complexo: que raiz complexa atrai z₀ com z − p(z)/p′(z). Aqui é geometria real: o gráfico de f, as tangentes e o movimento sobre o eixo x.

A convergência quadrática aparece à vista?

Só no qualitativo: perto de uma raiz simples e com um bom x₀, a altura |f(xₙ)| cai muito depressa. Não se derivam ordens exatas; olhe as colunas f e Δx da tabela nos últimos passos.

Método de Newton (1D)

Gráfico de f(x), um clique fixa x₀, iterações x − f/f′ (derivada numérica); panorâmica e predefinições. As bacias em ℂ ficam na experiência à parte «Fractal de Newton».

Sobre o modelo

O método de Newton busca uma raiz de f(x) = 0: no ponto atual xₙ lineariza-se a função e toma-se a interseção da reta tangente com o eixo x como a próxima aproximação xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Geometricamente, de (xₙ, 0) sobe-se ao gráfico e desce-se pela tangente. O gráfico y = f(x) é construído a partir da expressão; x₀ fixa-se com um clique (um arraste pequeno é panorâmica). A derivada toma-se por diferença finita simétrica, para testar várias f sem diferenciar à mão. Há predefinições, escala em x, controle de x₀, teto de iterações e um registro de passos. Paradas: |f| pequeno, passo |Δx| pequeno, f′ quase nula, valores não numéricos e divergência. No plano complexo as bacias das raízes aparecem na experiência à parte «Fractal de Newton».

Para quem: Curso de cálculo e bases de métodos numéricos: linearização, sensibilidade à aproximação inicial; comparação com as bacias complexas de atração.

Conceitos-chave

método de Newton
reta tangente
linearização
busca de raízes
derivada por diferenças finitas
convergência quadrática
bacia de atração

Como funciona

Método de Newton: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) — interseção da tangente ao gráfico y = f(x) com o eixo x. Aqui f′ toma-se por diferença finita; um clique fixa x₀. No plano complexo as bacias das raízes aparecem na experiência à parte «Fractal de Newton».

Perguntas frequentes

Por que diferença finita, e não a derivada simbólica?: A diferenciação simbólica é cômoda quando existe; aqui importa a flexibilidade: qualquer expressão que se possa desenhar já se pode passar pelo método de Newton. O preço é o erro em f′ e possíveis falhas perto de uma tangente quase horizontal.
Por que o método «quebra» em alguns pontos de partida?: Não há convergência global: se f′ é pequena e f não é, o próximo ponto pode ir longe. Em trechos planos dispara a parada «derivada quase nula». Para f oscilantes pode haver ciclos se não houver amortecimento.
Em que isso difere do fractal de Newton do site?: Lá se colore o plano complexo: que raiz complexa atrai z₀ com z − p(z)/p′(z). Aqui é geometria real: o gráfico de f, as tangentes e o movimento sobre o eixo x.
A convergência quadrática aparece à vista?: Só no qualitativo: perto de uma raiz simples e com um bom x₀, a altura |f(xₙ)| cai muito depressa. Não se derivam ordens exatas; olhe as colunas f e Δx da tabela nos últimos passos.

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