Почему далеко от точки a многочлен плохо повторяет функцию?

Коэффициенты берут из производных в одной точке a, поэтому приближение локальное. Чем дальше x от a, тем сильнее весят старшие степени (x − a)^n; при малом n их не хватает. У sin, cos и exp полный ряд всё же сходится везде — нужно лишь поднять порядок.

Чем ряд Маклорена отличается от ряда Тейлора?

Ряд Маклорена — ряд Тейлора при a = 0. Сдвиньте центр в ноль — получите Маклорена; любое другое a — общий ряд Тейлора.

Любую ли функцию можно так разложить?

Нужна бесконечная дифференцируемость в точке a. Даже тогда ряд может не совпадать с функцией вне некоторого радиуса. Здесь sin, cos и exp аналитичны на всей прямой: ряд сходится к f(x) при любом вещественном x.

Ряд Тейлора

Сравните sin, cos или exp с многочленом Тейлора порядка n в окрестности точки a.

О модели

Ряд Тейлора раскладывает гладкую функцию в сумму степеней (x − a): f(x) = Σ f^{(n)}(a)/n! · (x − a)^n. Частичная сумма — многочлен Тейлора порядка n. Для sin, cos и exp ряд сходится на всей прямой; при a = 0 это ряд Маклорена. Вблизи центра a многочлен повторяет функцию; дальше расхождение заметнее, пока не хватает степени. На экране серая кривая — f(x), жёлтая — многочлен, розовая точка — центр a. Остаточный член не рисуют: видно, как растёт n и куда сдвигается a. Других функций с конечным радиусом сходимости здесь нет.

Для кого: Математический анализ: ряд Тейлора, ряд Маклорена, локальная аппроксимация многочленом.

Ключевые понятия

ряд Тейлора
многочлен Тейлора
ряд Маклорена
производная
факториал
сходимость
локальная аппроксимация

Как это работает

Для sin, cos или exp строят многочлен Тейлора степени n в окрестности x = a (розовая точка). Серая кривая — сама функция, жёлтая — частичная сумма Σ f^{(k)}(a)/k! · (x−a)^k. Вблизи a кривые совпадают; дальше расхождение снимают увеличением n.

Часто задаваемые вопросы

Почему далеко от точки a многочлен плохо повторяет функцию?: Коэффициенты берут из производных в одной точке a, поэтому приближение локальное. Чем дальше x от a, тем сильнее весят старшие степени (x − a)^n; при малом n их не хватает. У sin, cos и exp полный ряд всё же сходится везде — нужно лишь поднять порядок.
Чем ряд Маклорена отличается от ряда Тейлора?: Ряд Маклорена — ряд Тейлора при a = 0. Сдвиньте центр в ноль — получите Маклорена; любое другое a — общий ряд Тейлора.
Любую ли функцию можно так разложить?: Нужна бесконечная дифференцируемость в точке a. Даже тогда ряд может не совпадать с функцией вне некоторого радиуса. Здесь sin, cos и exp аналитичны на всей прямой: ряд сходится к f(x) при любом вещественном x.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

ПопулярноеШкольные

Ряды Фурье

Запустить симулятор

Периодическую функцию раскладывают в сумму гармоник — синусов и косинусов кратных частот. Меняйте число членов и сравнивайте частичную сумму с меандром, пилой или треугольником.

ПопулярноеШкольные

Тригонометрический круг

Запустить симулятор

Единичная окружность: sin θ, cos θ и tg θ как координаты и отношение при движении точки.

Дети

График функции

Запустить симулятор

График y = f(x): введите выражение, масштаб по горизонтали и сдвиг окна.

НовоеШкольные

Метод Ньютона (1D)

Запустить симулятор

График f(x), клик задаёт x₀, итерации x − f/f′ (производная численно); панорама и заготовки. Бассейны на ℂ — отдельный опыт «фрактал Ньютона».

НовоеШкольные

PCA в 2D: главные компоненты

Запустить симулятор

Облако на плоскости: ковариация 2×2, собственные векторы PC1 и PC2 от среднего, перпендикуляры к прямой PC1 и полоска счетов на первой компоненте.

НовоеУниверситет / научные

Лагранж и кубический сплайн

Запустить симулятор

Узлы кликом: многочлен Лагранжа против естественного кубического сплайна. Заготовка Рунге показывает краевые осцилляции высокой степени.

Ряд Тейлора

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Ряды Фурье

Тригонометрический круг

График функции

Метод Ньютона (1D)

PCA в 2D: главные компоненты

Лагранж и кубический сплайн

Ряд Тейлора

О модели

Как это работает

Часто задаваемые вопросы