¿Para qué la diferencia finita y no la derivada simbólica?

La diferenciación simbólica es cómoda cuando está; aquí importa la flexibilidad: cualquier expresión que se pueda dibujar se puede pasar de inmediato por el método de Newton. El precio es el error en f′ y posibles fallos cerca de una tangente casi horizontal.

¿Por qué el método «se rompe» en algunos arranques?

No hay convergencia global: si f′ es chica y f no lo es, el siguiente punto puede irse lejos. En tramos planos salta la parada «derivada casi nula». Para f oscilantes puede haber ciclos si no hay amortiguamiento.

¿En qué se diferencia del fractal de Newton del sitio?

Allá se colorea el plano complejo: qué raíz compleja atrae a z₀ con z − p(z)/p′(z). Aquí es geometría real: la gráfica de f, las tangentes y el movimiento sobre el eje x.

¿Se ve la convergencia cuadrática?

Solo en lo cualitativo: cerca de una raíz simple y con un buen x₀, la altura |f(xₙ)| cae muy rápido. No se derivan órdenes exactos; miren las columnas f y Δx de la tabla en los últimos pasos.

Método de Newton (1D)

Gráfica de f(x), un clic fija x₀, iteraciones x − f/f′ (derivada numérica); panorámica y plantillas. Las cuencas en ℂ son la experiencia aparte «Fractal de Newton».

Sobre el modelo

El método de Newton busca una raíz de f(x) = 0: en el punto actual xₙ se linealiza la función y se toma la intersección de la tangente con el eje x como la siguiente aproximación xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Geométricamente, desde (xₙ, 0) se sube a la gráfica y se baja por la tangente. La gráfica y = f(x) se construye a partir de la expresión; x₀ se fija con un clic (un arrastre pequeño es panorámica). La derivada se toma por diferencia finita simétrica, para probar distintas f sin diferenciar a mano. Hay plantillas, escala en x, control de x₀, tope de iteraciones y un registro de pasos. Paradas: |f| pequeño, paso |Δx| pequeño, f′ casi nula, valores no numéricos y divergencia. En el plano complejo las cuencas de las raíces las muestra la experiencia aparte «Fractal de Newton».

Para quién: Curso de cálculo y bases de métodos numéricos: linealización, sensibilidad a la aproximación inicial; comparación con las cuencas complejas de atracción.

Conceptos clave

método de Newton
tangente
linealización
búsqueda de raíces
derivada por diferencias finitas
convergencia cuadrática
cuenca de atracción

Cómo funciona

Método de Newton: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) — intersección de la tangente a la gráfica y = f(x) con el eje x. Aquí f′ se toma por diferencia finita; un clic fija x₀. En el plano complejo las cuencas de las raíces las muestra la experiencia aparte «Fractal de Newton».

Preguntas frecuentes

¿Para qué la diferencia finita y no la derivada simbólica?: La diferenciación simbólica es cómoda cuando está; aquí importa la flexibilidad: cualquier expresión que se pueda dibujar se puede pasar de inmediato por el método de Newton. El precio es el error en f′ y posibles fallos cerca de una tangente casi horizontal.
¿Por qué el método «se rompe» en algunos arranques?: No hay convergencia global: si f′ es chica y f no lo es, el siguiente punto puede irse lejos. En tramos planos salta la parada «derivada casi nula». Para f oscilantes puede haber ciclos si no hay amortiguamiento.
¿En qué se diferencia del fractal de Newton del sitio?: Allá se colorea el plano complejo: qué raíz compleja atrae a z₀ con z − p(z)/p′(z). Aquí es geometría real: la gráfica de f, las tangentes y el movimiento sobre el eje x.
¿Se ve la convergencia cuadrática?: Solo en lo cualitativo: cerca de una raíz simple y con un buen x₀, la altura |f(xₙ)| cae muy rápido. No se derivan órdenes exactos; miren las columnas f y Δx de la tabla en los últimos pasos.

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